Transfinitní indukce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Transfinitní indukce je postup důkazu používaný v teorii množin obdobný jako klasická matematická indukce, ale rozšířený z přirozených čísel na ordinální čísla.

Věty o transfinitní indukci[editovat | editovat zdroj]

Zatímco princip matematické indukce je považován za natolik samozřejmý[zdroj?], že je uváděn jako součást Peanovy axiomatiky přirozených čísel, v případě transfinitní indukce se jedná o věty (i když s poměrně snadným důkazem), které poskytují návod, jak při důkazu postupovat:

Verze první[editovat | editovat zdroj]

Je-li X třída ordinálních čísel, pro kterou platí, že každou svou podmnožinu obsahuje zároveň jako prvek, pak je X shodná s třídou On všech ordinálních čísel.

Verze druhá[editovat | editovat zdroj]

Pokud je X třída ordinálních čísel, která obsahuje prázdnou množinu, s každým ordinálem zároveň ordinál a pro každý limitní ordinál , který je podmnožinou X platí, že je zároveň prvkem X, pak tato třída X obsahuje všechna ordinální čísla, tj. X = On
Jinými slovy pokud platí následující čtyři podmínky, pak X = On:

  1. pro každý limitní ordinál platí

Příklad použití[editovat | editovat zdroj]

Transfinitní indukce se používá při důkazu značného množství vět z ordinální aritmetiky, mimo jiné například při důkazu, že mocnění na ordinálních číslech je rozšířením mocnění na přirozených číslech:

Důsledkem principu transfinitní indukce je princip transfinitní rekurze, tj. možnost jednoznačně definovat zobrazení na ordinálních číslech předpisem, který využívá pro výpočet -té hodnoty hodnot pro ordinální čísla menší než . (Je tomu obdobně, jako u běžného aritmetického principu matematické indukce, ze kterého vyplývá možnost používat rekurzi na přirozených číslech.)

Související články[editovat | editovat zdroj]