Limitní ordinál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Definice[editovat | editovat zdroj]

Limitní ordinál je ordinální číslo, které nemá předchůdce a není prázdné. Formálněji:
Ordinální číslo  \alpha \,\! je limitní, pokud
 \alpha \neq 0 \and (\forall \beta \isin On)( \beta \cup \{ \beta \} \neq \alpha )
On zde označuje třídu všech ordinálních čísel.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Množina  \omega \,\! všech přirozených čísel je limitní - každý menší ordinál je konečný a nemůže být předchůdcem  \omega \,\! ve smyslu výše uvedené definice.

Podobně množina  \omega + \omega = \{0,1,2,\ldots,\omega,\omega + 1, \omega + 2,\ldots \} \,\! je limitní.

Naproti tomu ordinály  0,1,7,13,\omega + 1, \omega.\omega + \omega + 15 \,\! nejsou limitní. 0 není limitní z definice a ostatní mají předchůdce  0,6,12,\omega, \omega.\omega + \omega + 14 \,\!. Takovým ordinálům říkáme izolované.

Použití[editovat | editovat zdroj]

Rozdělení ordinálních čísel na limitní a izolovaná se často používá v důkazech transfinitní indukcí a v konstrukcích transfinitní rekurzí, kde je prováděn zvláštní krok (z předchůdce na následníka) pro izolovaný ordinál a zvláštní krok (z množiny všech menších ordinálů na jejich supremum) pro limitní ordinál.

Limitní ordinály mají některé zajímavé vlastnosti, které nemají izolované ordinály:

Související články[editovat | editovat zdroj]