Ordinální aritmetika

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Ordinální aritmetika je jednou z disciplín klasické teorie množin. Zabývá se rozšířením základních aritmetických operací (sčítání, násobení, mocnění) z přirozených čísel na všechna ordinální čísla (včetně nekonečných). Toto rozšíření probíhá tak, aby byly dobře zachyceny vlastnosti takzvaných dobrých uspořádání. Jinou možností je pokus o zachycení vlastností velikosti množin - tím se zabývá kardinální aritmetika.

V celém článku jsou písmena ze začátku řecké alfabety používána pro označení ordinálů.

Ordinální čísla a jejich vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Základní definice a vlastnosti ordinálních čísel najdete v článku Ordinální číslo.

Definice ordinálního součtu a součinu[editovat | editovat zdroj]

Jsou-li a dvě ordinální čísla, pak:

  • jako označíme ordinální číslo, které je typem množiny v lexikografickém uspořádání
  • jako označíme ordinální číslo, které je typem množiny v lexikografickém uspořádání.

Typem dobře uspořádané množiny se rozumí ordinální číslo, které je při uspořádání relací izomorfní s touto množinou - jedním z poměrně jednoduchých výsledků teorie ordinálních čísel je, že každá dobře uspořádaná množina je izomorfní s právě jedním ordinálem.

Příklady součtu dvou ordinálních čísel[editovat | editovat zdroj]

Součet 3 + 2:




Typem této množiny v lexikografickém uspořádání (tj. napřed podle prvního a pak podle druhého prvku uspořádané dvojice) je ordinál 5, takže 2 + 3 = 5, což vypadá docela povědomě.

Součet (jako se značí množina všech přirozených čísel)




Typem této množiny v lexikografickém uspořádání je , takže . Tady už je to s tou povědomostí horší - když něco zleva přičtu k množině všech přirozených čísel, dostanu opět množinu přirozených čísel.

Doporučuji každému, aby si zkusil podle definice rozepsat . Dojde k překvapivému zjištění:

Příklady součinu dvou ordinálních čísel[editovat | editovat zdroj]

Součin 3.2:


Typem této množiny s lexikografickým uspořádáním je číslo 6.

Součin
:

Typem této množiny s lexikografickým uspořádáním je .

Obrátím-li poslední příklad na , dostávám množinu
,
jejímž typem již není , ale větší ordinální číslo

Rozhodně opět .

Vlastnosti ordinálního součtu a součinu[editovat | editovat zdroj]

Ordinální součet a součin je definován tak, aby na přirozených číslech (tj. v našem případě na konečných ordinálech) dával stejné výsledky jako běžný aritmetický součet a součin v Peanově aritmetice. Dá se dokonce ukázat, že ordinální aritmetika na konečných ordinálech je modelem Peanovy aritmetiky.

Zajímavější začíná být situace na nekonečných ordinálech, kde se již toto chování liší - součet ani součin nejsou komutativní a ordinální součin je distributivní pouze zleva:

Opačně to ale neplatí, protože například: - viz předchozí příklady.

Uveďme některé další vlastnosti ordinálního součtu a součinu (všechny lze snadno odvodit přímo z definice stejně, jako v předchozích příkladech):

A na závěr ještě něco, co vypadá trochu jako zbytek po dělení na přirozených číslech:
Pro každé dva ordinály existují takové, že

Definice ordinální mocniny[editovat | editovat zdroj]

Ordinální mocnina mocnina je opět rozšířením své jmenovkyně známé z přirozených čísel, definuje se rekurzivně následujícím způsobem:

  1. pro limitní ordinál je - sup v tomto výrazu znamená supremum dané množiny k uspořádání ordinálních čísel relací

Vlastnosti ordinální mocniny[editovat | editovat zdroj]

Ordinální mocnina má opět řadu vlastností, které bychom od aritmetické operace toho jména čekali:

  • pro

A především:

Mocninný rozvoj ordinálního čísla[editovat | editovat zdroj]

Na závěr ještě uveďme větu o mocninném rozvoji ordinálních čísel (konkrétně pro základ - opět lze srovnávat s mocninným rozvojem na přirozených číslech například ze základu 2:

Je-li množina přirozených čísel a libovolný ordinál, pak existují jednoznačně daná přirozená čísla a ordinály takové, že platí:

Tento zápis nazýváme Cantorův normální tvar ordinálního čísla.

Pro vyjádření čísla v Cantorově normálním tvaru platí , přičemž rovnost nastává právě tehdy, když . Takových existuje dokonce vlastní třída, nejmenší z nich se nazývá . Pro tedy je , což umožňuje často používanou metodu dokazování - takzvanou indukci do epsilon nula.

Související články[editovat | editovat zdroj]