Lexikografické uspořádání

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Lexikografické uspořádání neboli slovníkové řazení je matematický pojem z oboru teorie uspořádání, který formalizuje vlastnosti uspořádání „podle abecedy“ pro potřeby práce s uspořádanými množinami.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Předpokládejme, že množina je uspořádána relací .
Lexikografické uspořádání množiny všech uspořádaných dvojic z kartézského součinu podle relace je definováno vztahem
.

Obecněji lze lexikografické uspořádání zavést pro uspořádané n-tice z , tj. na množině pomocí vztahu






Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Lexikografické uspořádání není přes svou nepřehlednou definici nic záhadného - odpovídá přesně tomu, co rozumíme pod pojmem „uspořádání podle abecedy“.
Pokud vezmeme jako množinu X seznam znaků nějaké abecedy a jako R uspořádání těchto znaků v abecedě, pak není lexikografické uspořádání nic jiného, než určení pořadí všech slov s nějakou určitou délkou. Pokud bychom navíc definovali způsob, jak porovnat dvě různě dlouhé uspořádané n-tice, můžeme rovnou začít řadit telefonní seznam.

Definice lexikografického uspořádání se ale neomezuje pouze na lineárně uspořádané podkladové množiny. Relace R může být v této definici jakékoliv uspořádání.
Uvažujme na chvilku o množině a jejím uspořádání .
Relace R je uspořádání, takže k ní můžeme definovat lexikografické uspořádání množiny všech uspořádaných trojic z .
Protože prvky 1 a 2 nejsou porovnatelné podle , dostáváme následující vztahy:

  • trojice a nejsou v lexikografickém uspořádání podle porovnatelné - stačí si dosadit do definice a vidíme, že není splněna ani jedna řádka, které podmiňují porovnatelnost v lexikografickém uspořádání.

Použití[editovat | editovat zdroj]

Při řešení mnoha matematických problémů se ukazuje jako potřebné „přenést“ uspořádání nějaké množiny i na uspořádané dvojice (nebo obecně n-tice) prvků z této množiny. Lexikografické uspořádání je jednou z možností (i když zdaleka ne vždy tou nejlepší), jak něco takového provést - dobrým příkladem je definice ordinálního součtu a ordinálního součinu.

Související články[editovat | editovat zdroj]