Uspořádání

Uspořádání (přesněji neostré částečné uspořádání) je matematický pojem z teorie uspořádání. Jde o binární reflexivní, slabě antisymetrickou a tranzitivní relaci, tj. relaci, pro kterou platí následující podmínky:

• $(\forall x\in a)(xRx)$ – reflexivita (každý prvek je v relaci R sám se sebou)
• $(\forall x,y,z\in a)((xRy\land yRz)\implies xRz)$ – tranzitivita (pokud je prvek množiny v uspořádání mezi jinými dvěma prvky, jsou tyto dva rovněž srovnatelné)
• $(\forall x,y\in a)((xRy\land yRx)\implies x=y)$ – slabá antisymetrie (neexistují cykly v uspořádání)

Množina, na které je definováno uspořádání, se nazývá uspořádaná (nebo též poset z anglického partially ordered set). Uspořádané množiny lze graficky znázornit pomocí Hasseových diagramů.

Příklady

• Relace ≤ je uspořádání na přirozených, celých, racionálních i reálných číslech.
• Relace $\subseteq$ ("být podmnožinou") je uspořádání na třídě všech množin (na univerzální třídě).
• Relace dělitelnosti | (a dělí b) je uspořádáním na přirozených číslech.
• Sémantický důsledek ⊨ je uspořádáním logických formulí ve výrokové logice i logice prvního řádu.

Naopak relace na množině osob „být potomkem“ není neostrým uspořádáním, protože nesplňuje vlastnost reflexivity. Relace je ireflexivní, asymetrická a tranzitivní, jedná se tedy o ostré uspořádání.

Související články

• ostré uspořádání
• uspořádaná množina
• dobře uspořádaná množina - dobré uspořádání
• husté uspořádání
• kvaziuspořádání
• nutná a postačující podmínka

Externí odkazy

• Slovníkové heslo uspořádání ve Wikislovníku

Portály: Matematika