Výroková logika

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Na tento článek je přesměrováno heslo Výroková formule. Tento článek je o pojmu matematické logiky. Další významy jsou uvedeny na stránce Formule.
Na tento článek je přesměrováno heslo Výroková formule. Tento článek je o pojetí formule ve výrokové logice. O pojetí formule v predikátové logice pojednává článek Formule (logika).

V matematice a logice se pojmem výroková logika označuje formální odvozovací systém, ve kterém atomické formule tvoří výrokové proměnné (na rozdíl od predikátové logiky). Výroková logika je, stejně jako fuzzy logika, podoborem matematické logiky.

Výroková logika se skládá ze

Syntaxe[editovat | editovat zdroj]

Nechť je neprázdná množina symbolů nazývaných atomické výrokové formule (též výrokové proměnné). Abecedou jazyka výrokové logiky jsou prvky množiny , symbol pro negaci a pro implikaci. Výrokové formule jazyka definujeme následovně:

  1. Každá atomická výroková formule je též výroková formule.
  2. Jestliže je výroková formule, je i výroková formule.
  3. Jsou-li výrokové formule, je i výroková formule.
  4. Formule vznikne konečným počtem užití pravidel 2 a 3.

Pro zkrácení zápisu dále používáme označení

  • Konjunkce: pro
  • Disjunkce: pro
  • Ekvivalence: pro
  • Exkluzivní disjunkce: pro
  • Tautologie: pro
  • Kontradikce: pro
  • NAND: pro
  • NOR: pro
  • Obrácená implikace: pro

Sémantika[editovat | editovat zdroj]

Pravdivostní ohodnocení (též interpretace) atomických formulí je jakékoliv zobrazení . Rozšíření na výrokové formule definujeme induktivně takto:

  1. je-li atomická formule

O formuli říkáme, že je splnitelná, pokud existuje takové , že platí (též značeno ). V opačném případě o formuli říkáme, že je nesplnitelná.

O formuli říkáme, že je sémantickým důsledkem formule , značeno pokud pro každé , takové že platí i . Tato relace je částečným uspořádáním výrokových formulí.

Odvozování[editovat | editovat zdroj]

Pro výrokovou logiku můžeme definovat jednoduchý deduktivní dokazovací systém sestávající ze tří schémat pro axiomy tvorbu axiomů a jediného odvozovacího pravidla.

Hilbertův axiomatický systém[editovat | editovat zdroj]

Pro jakékoliv formule jsou náledující formule axiomy:

Odvozovací pravidlo[editovat | editovat zdroj]

Stačí nám jediné pravidlo, tzv. Modus ponens: Jestliže platí a platí, pak platí.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Důkazem nazveme konečnou posloupnost , jestliže pro každé je buď závěr odvozovacího pravidla, jehož předpoklady jsou mezi a , nebo axiom.

Jestliže existuje důkaz výrokové formule , říkáme o této formuli, že je dokazatelná.

Úplnost[editovat | editovat zdroj]

Výroková logika je úplná a konzitentní v tom smyslu, že dokazatelné formule jsou právě ty, které jsou pravdivé v každém ohodnocení.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]