Formule (logika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Formule (také predikátová formule, srov. výroková formule) je v matematice a logice syntaktický pojem reprezentující nějaké (matematické) tvrzení v jisté formální teorii predikátové logiky prvního řádu.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť L je jazyk. V následující definici uvažujeme pouze dvě logické spojky a a jeden kvantifikátor . Zbylé spojky a kvantifikátor lze zavést definicemi.

Term[editovat | editovat zdroj]

Termy jazyka L jsou definovány indukcí podle složitosti takto: Množina termů je nejmenší množina splňující:

  • Každá proměnná je term.
  • Každý konstantní symbol c jazyka L je term.
  • Kdykoli F je n-ární funkční symbol jazyka L a jsou termy, pak je term.
  • Nic, co nevzniklo pomocí předchozích pravidel, není term, neboli každý term vznikne konečným použitím tří výše uvedených pravidel

Atomická formule[editovat | editovat zdroj]

Atomická formule jazyka L je výraz tvaru , kde P je n-ární predikátový symbol jazyka L a jsou termy nebo (jde-li o logiku s rovností) tvaru , kde jsou termy.

Formule[editovat | editovat zdroj]

Formule jazyka L jsou definovány indukcí podle složitosti takto: Množina formulí je nejmenší množina splňující:

  • Každá atomická formule je formule
  • Když je formule, x proměnná, pak a jsou formule.
  • Když jsou formule, pak je formule.

Uzavřená a otevřená formule[editovat | editovat zdroj]

Formule se nazývá otevřená, neobsahuje-li žádný kvantifikátor, a uzavřená, je-li každá proměnná v ní obsažená kvantifikována (tj. je na ni aplikován některý kvantifikátor). Uzavřená formule se nazývá též sentence.

Například:

  • formule je otevřená ale ne uzavřená
  • formule je uzavřená ale ne otevřená
  • formule není ani otevřená ani uzavřená
  • formule je otevřená i uzavřená

Volná a vázaná proměnná, substituovatelnost[editovat | editovat zdroj]

Podformulí formule je každá formule, která je částí formule .

Říkáme, že proměnná x je vázaná ve formuli , jestliže existuje podformule formule ve tvaru . Říkáme, že proměnná x je volná ve formuli , jestliže x má výskyt v nějaké podformuli formule takové, že není podformulí žádné formule tvaru .

Říkáme, že term t je substituovatelný za proměnnou x do formule , jestliže x není volná v žádné podformuli tvaru , kde proměnná y má výskyt v termu t. Tedy, pokud náš term t obsahuje proměnnou y, která je v místě substituce vázaná, musí tam být i x vázaná.

Je-li x proměnná, t term a formule, značí formuli, která vznikne nahrazením (substitucí) termu t za každý volný výskyt proměnné x v .

Otevřené formule nemají vázané proměnné, uzavřené formule nemají volné proměnné.

Související články[editovat | editovat zdroj]