Přeskočit na obsah

Model (logika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
(přesměrováno z Model (matematika))

Model (také struktura) je matematický pojem z oblasti matematickologické sémantiky. Je to seskupení objektů, na němž jsou definovány nějaké vztahy (relace) a přiřazení (funkce) tak, že vytváří „realizaci“ nějaké formální teorie.

Model jazyka

[editovat | editovat zdroj]

Struktura pro jazyk L (také model jazyka L), který obsahuje z mimologických symbolů konstantní symboly , funkční symboly četností a predikátové symboly četností , je množina nazývaná nosič struktury spolu s konstantami , funkcemi a relacemi . Konstanta , resp. funkce , resp. relace se nazývá realizací konstantního symbolu , resp. funkčního symbolu , resp. predikátového symbolu v modelu a značí se , resp. , resp. . Struktura s nosičem (a příslušnými realizacemi symbolů) se obvykle značí .

Méně formálně: Jazyk L obsahuje pouze symboly pro konstanty, funkce a predikáty a arity funkcí a predikátů. Model jazyka L přidává množinu (nosič struktury, např. množinu přirozených čísel) a dodává symbolům jazyka L jejich realizace.

Tarského definice pravdy

[editovat | editovat zdroj]

V tomto odstavci značí model jazyka L s mimologickými symboly popsanými výše. Ohodnocení proměnných v modelu je každá funkce z množiny všech proměnných do nosiče . Ohodnocení, které se shoduje s ohodnocením na všech proměnných kromě a na má hodnotu , značíme .

Realizace termu

[editovat | editovat zdroj]

Realizace termu jazyka L při ohodnocení proměnných v modelu , značíme , se definuje indukcí dle složitosti takto:

  • , je-li proměnná
  • , je-li konstantní symbol
  • , je-li a jsou termy

Platnost formule

[editovat | editovat zdroj]

Platnost formule jazyka L při ohodnocení proměnných v modelu definujeme indukcí dle složitosti takto ( platí v při ohodnocení značíme , neplatí v při ohodnocení značíme ):

  • Je-li atomická formule tvaru , pak , pokud .
  • Je-li atomická formule tvaru , pak , pokud .
  • Je-li formule tvaru , pak pokud
  • Je-li formule tvaru , pak pokud buďto nebo .
  • Je-li formule tvaru , pak , pokud pro všechna .

Říkáme, že platí v modelu , značíme , pokud pro každé ohodnocení proměnných .

Model teorie

[editovat | editovat zdroj]

Je-li T teorie v jazyce L a struktura pro tento jazyk, pak říkáme, že je modelem T, značíme , pokud pro každý axiom teorie T.

Příklady

[editovat | editovat zdroj]

Izomorfismus modelů

[editovat | editovat zdroj]

Izomorfismem modelů (struktur) téhož jazyka L je taková bijekce , která zachovává všechny symboly jazyka L, tj. splňuje:

  • pro každý konstantní symbol c jazyka L
  • pro každý funkční symbol f jazyka L četnosti n.

Existuje-li izomorfismus modelů , říkáme, že jsou tyto modely izomorfní.

Související články

[editovat | editovat zdroj]