Jazyk (logika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

V matematické logice se pod pojmem jazyk rozumí pevně zvolená množina symbolů, pomocí nichž se vytvářejí formule. Pojem jazyka náleží do oblasti logické syntaxe.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Každý jazyk se skládá ze symbolů dvou druhů - logických, které jsou povinně prvky každého jazyka a mimologických, které se mohou pro různé jazyky lišit.

Logické symboly jazyka[editovat | editovat zdroj]

Logické symboly jazyka jsou:

  • spočetně mnoho symbolů pro proměnné: (V matematické praxi se obvykle proměnné značí písmeny , vždy to však lze chápat tak, že tato písmena jsou ve skutečnosti nějaká .)
  • symboly pro logické spojky: , (případně ještě , , , tyto symboly však lze zavést také definicí)
  • symboly pro kvantifikátory: (případně , který lze zavést definicí)
  • symbol pro rovnost: (pokud jde o jazyk logiky s rovností)
  • pomocné symboly - závorky: a , popřípadě i další.

Mimologické symboly jazyka[editovat | editovat zdroj]

Mimologické symboly jazyka mohou být libovolné symboly různé od symbolů logických a také vzájemně po dvou různé. Může jich být libovolně (i nekonečně) mnoho. Ke každému mimologickému symbolu je zároveň přiřazen jeho druh a četnost (arita). Existují tři druhy mimologických symbolů:

  • Konstantní symboly
  • Funkční symboly
  • Predikátové symboly

Signatura je funkce definovaná na množině všech mimologických symbolů přiřazující každému mimologickému symbolu S přirozené číslo nazývané četnost (arita) symbolu S tak, že pro každý konstantní symbol c. Funkční resp. predikátový symbol četnosti n se také nazývá n-ární funkční resp. predikátový symbol.

Jazyk[editovat | editovat zdroj]

Jazykem rozumíme trojici , kde LS jsou všechny logické symboly jazyka, MLS mimologické symboly a signatura pro tyto mimologické symboly. Jazyk se obvykle zadává pouze vypsáním jeho mimologických symbolů a stanovením jejich četností, neboť logické symboly jsou společné pro všechny jazyky.

Kardinalita jazyka[editovat | editovat zdroj]

Kardinalita jazyka je maximum z mohutnosti množiny jeho mimologických symbolů a kardinálu (viz funkce alef).

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Jazyk, který má jediný mimologický symbol , který je predikátový četnosti 2, se nazývá jazykem teorie množin. Zapisuje se často jako . Symbol popisuje relaci „být prvkem“.
  • Jazyk, který má jeden konstantní symbol: , jeden predikátový symbol: četnosti 2 a tři funkční symboly: četnosti 1, četnosti 2 a četnosti 2, se nazývá jazyk aritmetiky (Symbol označuje operaci následníka (tj. přičtení jedničky), ostatní symboly mají klasické významy).

Související články[editovat | editovat zdroj]