Model (logika)

Model (také struktura) je matematický pojem z oblasti matematickologické sémantiky. Je to seskupení objektů, na němž jsou definovány nějaké vztahy (relace) a přiřazení (funkce) tak, že vytváří „realizaci“ nějaké formální teorie.

Definice

Model jazyka

Struktura pro jazyk L (také model jazyka L), který obsahuje z mimologických symbolů konstantní symboly $c_{\alpha };\alpha \in I_{K}$$c_{\alpha };\alpha \in I_{K}$, funkční symboly $\,f_{\alpha }$$\,f_{\alpha }$ četností $n_{\alpha };\alpha \in I_{F}$$n_{\alpha };\alpha \in I_{F}$ a predikátové symboly $\,p_{\alpha }$$\,p_{\alpha }$ četností $n_{\alpha };\alpha \in I_{P}$$n_{\alpha };\alpha \in I_{P}$, je množina A nazývaná nosič struktury spolu s konstantami $C_{\alpha }\in A;\alpha \in I_{K}$$C_{\alpha }\in A;\alpha \in I_{K}$, funkcemi $F_{\alpha }:A^{n_{\alpha }}\rightarrow A;\alpha \in I_{F}$$F_{\alpha }:A^{n_{\alpha }}\rightarrow A;\alpha \in I_{F}$ a relacemi $P_{\alpha }\subseteq A^{n_{\alpha }};\alpha \in I_{P}$$P_{\alpha }\subseteq A^{n_{\alpha }};\alpha \in I_{P}$. Konstanta $\,C_{\alpha }$$\,C_{\alpha }$, resp. funkce $\,F_{\alpha }$$\,F_{\alpha }$, resp. relace $\,P_{\alpha }$$\,P_{\alpha }$ se nazývá realizací konstantního symbolu $\,c_{\alpha }$$\,c_{\alpha }$, resp. funkčního symbolu $\,f_{\alpha }$$\,f_{\alpha }$, resp. predikátového symbolu $\,p_{\alpha }$$\,p_{\alpha }$ v modelu A a značí se $\,c_{\alpha }^{A}$$\,c_{\alpha }^{A}$, resp. $\,f_{\alpha }^{A}$$\,f_{\alpha }^{A}$, resp. $\,p_{\alpha }^{A}$$\,p_{\alpha }^{A}$. Struktura s nosičem A (a příslušnými realizacemi symbolů) se obvykle značí ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$.

Tarského definice pravdy

V tomto odstavci značí ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ model jazyka L s mimologickými symboly popsanými výše. Ohodnocení proměnných v modelu ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ je každá funkce e z množiny všech proměnných do nosiče A. Ohodnocení, které se shoduje s ohodnocením e na všech proměnných kromě x a na x má hodnotu a, značíme e(x/a).

Realizace termu

Realizace termu t jazyka L při ohodnocení proměnných e v modelu A, značíme $\,t^{A}<e>$$\,t^{A}<e>$, se definuje indukcí dle složitosti takto:

• $\,t^{A}<e>=e(x)$$\,t^{A}<e>=e(x)$, je-li t proměnná x
• $\,t^{A}<e>=c_{\alpha }^{A}$$\,t^{A}<e>=c_{\alpha }^{A}$, je-li t konstantní symbol $\,c_{\alpha }$$\,c_{\alpha }$
• $t^{A}<e>=F_{\alpha }^{A}(t_{0}^{A}<e>,\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}^{A}<e>)$$t^{A}<e>=F_{\alpha }^{A}(t_{0}^{A}<e>,\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}^{A}<e>)$, je-li $t=f_{\alpha }(t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1})$$t=f_{\alpha }(t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1})$ a $t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}$$t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}$ jsou termy

Platnost formule

Platnost formule $\,\varphi$$\,\varphi$ jazyka L při ohodnocení proměnných e v modelu ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ definujeme indukcí dle složitosti takto ($\,\varphi$$\,\varphi$ platí v ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ při ohodnocení e značíme ${\mathcal {A}}\models \varphi <e>$${\mathcal {A}}\models \varphi <e>$, $\,\varphi$$\,\varphi$ neplatí v ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ při ohodnocení e značíme ${\mathcal {A}}\not \models \varphi <e>$${\mathcal {A}}\not \models \varphi <e>$):

• Je-li $\,\varphi$$\,\varphi$ atomická formule tvaru $p_{\alpha }(t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1})$$p_{\alpha }(t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1})$, pak ${\mathcal {A}}\models \varphi <e>$${\mathcal {A}}\models \varphi <e>$, pokud $(t_{0}^{A}<e>,\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}^{A}<e>)\in P_{\alpha }^{A}$$(t_{0}^{A}<e>,\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}^{A}<e>)\in P_{\alpha }^{A}$.
• Je-li $\,\varphi$$\,\varphi$ atomická formule tvaru $\,t_{0}=t_{1}$$\,t_{0}=t_{1}$, pak ${\mathcal {A}}\models \varphi <e>$${\mathcal {A}}\models \varphi <e>$, pokud $t_{0}^{A}<e>=t_{1}^{A}<e>$$t_{0}^{A}<e>=t_{1}^{A}<e>$.
• Je-li $\,\varphi$$\,\varphi$ formule tvaru $\neg \psi$$\neg \psi$, pak ${\mathcal {A}}\models \varphi <e>$${\mathcal {A}}\models \varphi <e>$ pokud ${\mathcal {A}}\not \models \psi <e>$${\mathcal {A}}\not \models \psi <e>$
• Je-li $\,\varphi$$\,\varphi$ formule tvaru $\psi \Rightarrow \chi$$\psi \Rightarrow \chi$, pak ${\mathcal {A}}\models \varphi <e>$${\mathcal {A}}\models \varphi <e>$ pokud buďto ${\mathcal {A}}\not \models \psi <e>$${\mathcal {A}}\not \models \psi <e>$ nebo ${\mathcal {A}}\models \chi <e>$${\mathcal {A}}\models \chi <e>$.
• Je-li $\,\varphi$$\,\varphi$ formule tvaru $(\forall x)\psi$$(\forall x)\psi$, pak ${\mathcal {A}}\models \varphi <e>$${\mathcal {A}}\models \varphi <e>$, pokud ${\mathcal {A}}\models \psi <e(x/a)>$${\mathcal {A}}\models \psi <e(x/a)>$ pro všechna $a\in A$$a\in A$.

Říkáme, že $\,\varphi$$\,\varphi$ platí v modelu ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$, značíme ${\mathcal {A}}\models \varphi$${\mathcal {A}}\models \varphi$, pokud ${\mathcal {A}}\models \varphi <e>$${\mathcal {A}}\models \varphi <e>$ pro každé ohodnocení proměnných e.

Model teorie

Je-li T teorie v jazyce L a ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ struktura pro tento jazyk, pak říkáme, že ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ je modelem T, značíme ${\mathcal {A}}\models T$${\mathcal {A}}\models T$, pokud ${\mathcal {A}}\models \varphi$${\mathcal {A}}\models \varphi$ pro každý axiom $\,\varphi$$\,\varphi$ teorie T.

Příklady

• Množina přirozených čísel spolu s konstantou $\,0$$\,0$, binární relací $\,\leq$$\,\leq$ a funkcemi $\,+$$\,+$, $\,\cdot$$\,\cdot$ a $\,S$$\,S$ ($\,S(n)=n+1$$\,S(n)=n+1$) tvoří model Peanovy aritmetiky. Tento model se nazývá standardní model.
• Libovolná grupa je modelem axiomatické teorie grup.

Izomorfismus modelů

Izomorfismem modelů (struktur) ${\mathcal {A}},\,{\mathcal {B}}$${\mathcal {A}},\,{\mathcal {B}}$ téhož jazyka L je taková bijekce $i:A\rightarrow B$$i:A\rightarrow B$, která zachovává všechny symboly jazyka L, tj. splňuje:

• $\,i(c^{A})=c^{B}$$\,i(c^{A})=c^{B}$ pro každý konstantní symbol c jazyka L
• $i(f^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n}))=f^{B}(i(a_{1}),\ldots ,i(a_{n}))$$i(f^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n}))=f^{B}(i(a_{1}),\ldots ,i(a_{n}))$ pro každý funkční symbol f jazyka L četnosti n.
• $p^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n})\Leftrightarrow p^{B}(i(a_{1}),\ldots ,i(a_{n}))$$p^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n})\Leftrightarrow p^{B}(i(a_{1}),\ldots ,i(a_{n}))$

Existuje-li izomorfismus modelů ${\mathcal {A}},\,{\mathcal {B}}$${\mathcal {A}},\,{\mathcal {B}}$, říkáme, že jsou tyto modely izomorfní.

Související články

• Vnitřní model
• Teorie modelů
• Morleyova věta o kategoričnosti
• Vaughtova věta
• Löwenheim-Skolemova věta