Model (také struktura ) je matematický pojem z oblasti matematickologické sémantiky. Je to seskupení objektů, na němž jsou definovány nějaké vztahy (relace) a přiřazení (funkce ) tak, že vytváří „realizaci“ nějaké formální teorie .
Struktura pro jazyk L (také model jazyka L ), který obsahuje z mimologických symbolů konstantní symboly
c
α
;
α
∈
I
K
{\displaystyle c_{\alpha };\alpha \in I_{K}}
, funkční symboly
f
α
{\displaystyle \,f_{\alpha }}
četností
n
α
;
α
∈
I
F
{\displaystyle n_{\alpha };\alpha \in I_{F}}
a predikátové symboly
p
α
{\displaystyle \,p_{\alpha }}
četností
n
α
;
α
∈
I
P
{\displaystyle n_{\alpha };\alpha \in I_{P}}
, je množina A nazývaná nosič struktury spolu s konstantami
C
α
∈
A
;
α
∈
I
K
{\displaystyle C_{\alpha }\in A;\alpha \in I_{K}}
, funkcemi
F
α
:
A
n
α
→
A
;
α
∈
I
F
{\displaystyle F_{\alpha }:A^{n_{\alpha }}\rightarrow A;\alpha \in I_{F}}
a relacemi
P
α
⊆
A
n
α
;
α
∈
I
P
{\displaystyle P_{\alpha }\subseteq A^{n_{\alpha }};\alpha \in I_{P}}
. Konstanta
C
α
{\displaystyle \,C_{\alpha }}
, resp. funkce
F
α
{\displaystyle \,F_{\alpha }}
, resp. relace
P
α
{\displaystyle \,P_{\alpha }}
se nazývá realizací konstantního symbolu
c
α
{\displaystyle \,c_{\alpha }}
, resp. funkčního symbolu
f
α
{\displaystyle \,f_{\alpha }}
, resp. predikátového symbolu
p
α
{\displaystyle \,p_{\alpha }}
v modelu A a značí se
c
α
A
{\displaystyle \,c_{\alpha }^{A}}
, resp.
f
α
A
{\displaystyle \,f_{\alpha }^{A}}
, resp.
p
α
A
{\displaystyle \,p_{\alpha }^{A}}
. Struktura s nosičem A (a příslušnými realizacemi symbolů) se obvykle značí
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
.
V tomto odstavci značí
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
model jazyka L s mimologickými symboly popsanými výše. Ohodnocení proměnných v modelu
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
je každá funkce e z množiny všech proměnných do nosiče A. Ohodnocení, které se shoduje s ohodnocením e na všech proměnných kromě x a na x má hodnotu a , značíme e(x/a) .
Realizace termu t jazyka L při ohodnocení proměnných e v modelu A , značíme
t
A
<
e
>
{\displaystyle \,t^{A}<e>}
, se definuje indukcí dle složitosti takto:
t
A
<
e
>=
e
(
x
)
{\displaystyle \,t^{A}<e>=e(x)}
, je-li t proměnná x
t
A
<
e
>=
c
α
A
{\displaystyle \,t^{A}<e>=c_{\alpha }^{A}}
, je-li t konstantní symbol
c
α
{\displaystyle \,c_{\alpha }}
t
A
<
e
>=
F
α
A
(
t
0
A
<
e
>
,
…
,
t
n
α
−
1
A
<
e
>
)
{\displaystyle t^{A}<e>=F_{\alpha }^{A}(t_{0}^{A}<e>,\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}^{A}<e>)}
, je-li
t
=
f
α
(
t
0
,
…
,
t
n
α
−
1
)
{\displaystyle t=f_{\alpha }(t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1})}
a
t
0
,
…
,
t
n
α
−
1
{\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}}
jsou termy
Platnost formule
φ
{\displaystyle \,\varphi }
jazyka L při ohodnocení proměnných e v modelu
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
definujeme indukcí dle složitosti takto (
φ
{\displaystyle \,\varphi }
platí v
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
při ohodnocení e značíme
A
⊨
φ
<
e
>
{\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi <e>}
,
φ
{\displaystyle \,\varphi }
neplatí v
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
při ohodnocení e značíme
A
⊭
φ
<
e
>
{\displaystyle {\mathcal {A}}\not \models \varphi <e>}
):
Je-li
φ
{\displaystyle \,\varphi }
atomická formule tvaru
p
α
(
t
0
,
…
,
t
n
α
−
1
)
{\displaystyle p_{\alpha }(t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1})}
, pak
A
⊨
φ
<
e
>
{\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi <e>}
, pokud
(
t
0
A
<
e
>
,
…
,
t
n
α
−
1
A
<
e
>
)
∈
P
α
A
{\displaystyle (t_{0}^{A}<e>,\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}^{A}<e>)\in P_{\alpha }^{A}}
.
Je-li
φ
{\displaystyle \,\varphi }
atomická formule tvaru
t
0
=
t
1
{\displaystyle \,t_{0}=t_{1}}
, pak
A
⊨
φ
<
e
>
{\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi <e>}
, pokud
t
0
A
<
e
>=
t
1
A
<
e
>
{\displaystyle t_{0}^{A}<e>=t_{1}^{A}<e>}
.
Je-li
φ
{\displaystyle \,\varphi }
formule tvaru
¬
ψ
{\displaystyle \neg \psi }
, pak
A
⊨
φ
<
e
>
{\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi <e>}
pokud
A
⊭
ψ
<
e
>
{\displaystyle {\mathcal {A}}\not \models \psi <e>}
Je-li
φ
{\displaystyle \,\varphi }
formule tvaru
ψ
⇒
χ
{\displaystyle \psi \Rightarrow \chi }
, pak
A
⊨
φ
<
e
>
{\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi <e>}
pokud buďto
A
⊭
ψ
<
e
>
{\displaystyle {\mathcal {A}}\not \models \psi <e>}
nebo
A
⊨
χ
<
e
>
{\displaystyle {\mathcal {A}}\models \chi <e>}
.
Je-li
φ
{\displaystyle \,\varphi }
formule tvaru
(
∀
x
)
ψ
{\displaystyle (\forall x)\psi }
, pak
A
⊨
φ
<
e
>
{\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi <e>}
, pokud
A
⊨
ψ
<
e
(
x
/
a
)
>
{\displaystyle {\mathcal {A}}\models \psi <e(x/a)>}
pro všechna
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
.
Říkáme, že
φ
{\displaystyle \,\varphi }
platí v modelu
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
, značíme
A
⊨
φ
{\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi }
, pokud
A
⊨
φ
<
e
>
{\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi <e>}
pro každé ohodnocení proměnných e .
Je-li T teorie v jazyce L a
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
struktura pro tento jazyk, pak říkáme, že
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
je modelem T , značíme
A
⊨
T
{\displaystyle {\mathcal {A}}\models T}
, pokud
A
⊨
φ
{\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi }
pro každý axiom
φ
{\displaystyle \,\varphi }
teorie T .
Izomorfismem modelů (struktur)
A
,
B
{\displaystyle {\mathcal {A}},\,{\mathcal {B}}}
téhož jazyka L je taková bijekce
i
:
A
→
B
{\displaystyle i:A\rightarrow B}
, která zachovává všechny symboly jazyka L , tj. splňuje:
i
(
c
A
)
=
c
B
{\displaystyle \,i(c^{A})=c^{B}}
pro každý konstantní symbol c jazyka L
i
(
f
A
(
a
1
,
…
,
a
n
)
)
=
f
B
(
i
(
a
1
)
,
…
,
i
(
a
n
)
)
{\displaystyle i(f^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n}))=f^{B}(i(a_{1}),\ldots ,i(a_{n}))}
pro každý funkční symbol f jazyka L četnosti n .
p
A
(
a
1
,
…
,
a
n
)
⇔
p
B
(
i
(
a
1
)
,
…
,
i
(
a
n
)
)
{\displaystyle p^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n})\Leftrightarrow p^{B}(i(a_{1}),\ldots ,i(a_{n}))}
Existuje-li izomorfismus modelů
A
,
B
{\displaystyle {\mathcal {A}},\,{\mathcal {B}}}
, říkáme, že jsou tyto modely izomorfní.