Model (logika)

Model (také struktura) je matematický pojem z oblasti matematickologické sémantiky. Je to seskupení objektů, na němž jsou definovány nějaké vztahy (relace) a přiřazení (funkce) tak, že vytváří „realizaci“ nějaké formální teorie.

Definice

Model jazyka

Struktura pro jazyk L (také model jazyka L), který obsahuje z mimologických symbolů konstantní symboly $c_\alpha; \alpha\in I_K$, funkční symboly $\,f_\alpha$ četností $n_\alpha; \alpha\in I_F$ a predikátové symboly $\,p_\alpha$ četností $n_\alpha; \alpha\in I_P$, je množina A nazývaná nosič struktury spolu s konstantami $C_\alpha\in A; \alpha\in I_K$, funkcemi $F_\alpha :A^{n_\alpha}\rightarrow A; \alpha \in I_F$ a relacemi $P_\alpha \subseteq A^{n_\alpha}; \alpha\in I_P$. Konstanta $\,C_\alpha$, resp. funkce $\,F_\alpha$, resp. relace $\,P_\alpha$ se nazývá realizací konstantního symbolu $\,c_\alpha$, resp. funkčního symbolu $\,f_\alpha$, resp. predikátového symbolu $\,p_\alpha$ v modelu A a značí se $\,c_\alpha^A$, resp. $\,f_\alpha^A$, resp. $\,p_\alpha^A$. Struktura s nosičem A (a příslušnými realizacemi symbolů) se obvykle značí $\mathcal{A}$.

Tarského definice pravdy

V tomto odstavci značí $\mathcal{A}$ model jazyka L s mimologickými symboly popsanými výše. Ohodnocení proměnných v modelu $\mathcal{A}$ je každá funkce e z množiny všech proměnných do nosiče A. Ohodnocení, které se shoduje s ohodnocením e na všech proměnných kromě x a na x má hodnotu a, značíme e(x/a).

Realizace termu

Realizace termu t jazyka L při ohodnocení proměnných e v modelu A, značíme $\,t^A<e>$, se definuje indukcí dle složitosti takto:

• $\,t^A<e>=e(x)$, je-li t proměnná x
• $\,t^A<e>=c_\alpha^A$, je-li t konstantní symbol $\,c_\alpha$
• $t^A<e>=F_\alpha^A(t_0^A<e>,\ldots, t_{n_\alpha-1}^A<e>)$, je-li $t=f_\alpha(t_0,\ldots,t_{n_\alpha-1})$ a $t_0,\ldots,t_{n_\alpha-1}$ jsou termy

Platnost formule

Platnost formule $\,\varphi$ jazyka L při ohodnocení proměnných e v modelu $\mathcal{A}$ definujeme indukcí dle složitosti takto ($\,\varphi$ platí v $\mathcal{A}$ při ohodnocení e značíme $\mathcal{A}\models\varphi<e>$, $\,\varphi$ neplatí v $\mathcal{A}$ při ohodnocení e značíme $\mathcal{A}\not\models\varphi<e>$):

• Je-li $\,\varphi$ atomická formule tvaru $p_\alpha(t_0,\ldots,t_{n_\alpha-1})$, pak $\mathcal{A}\models\varphi<e>$, pokud $(t_0^A<e>,\ldots,t_{n_\alpha-1}^A<e>)\in P_\alpha^A$.
• Je-li $\,\varphi$ atomická formule tvaru $\,t_0=t_1$, pak $\mathcal{A}\models\varphi<e>$, pokud $t_0^A<e>=t_1^A<e>$.
• Je-li $\,\varphi$ formule tvaru $\neg \psi$, pak $\mathcal{A}\models\varphi<e>$ pokud $\mathcal{A}\not\models\psi<e>$
• Je-li $\,\varphi$ formule tvaru $\psi \Rightarrow \chi$, pak $\mathcal{A}\models\varphi<e>$ pokud buďto $\mathcal{A}\not\models\psi<e>$ nebo $\mathcal{A}\models\chi<e>$.
• Je-li $\,\varphi$ formule tvaru $(\forall x)\psi$, pak $\mathcal{A}\models\varphi<e>$, pokud $\mathcal{A}\models\psi<e(x/a)>$ pro všechna $a\in A$.

Říkáme, že $\,\varphi$ platí v modelu $\mathcal{A}$, značíme $\mathcal{A}\models\varphi$, pokud $\mathcal{A}\models\varphi<e>$ pro každé ohodnocení proměnných e.

Model teorie

Je-li T teorie v jazyce L a $\mathcal{A}$ struktura pro tento jazyk, pak říkáme, že $\mathcal{A}$ je modelem T, značíme $\mathcal{A}\models T$, pokud $\mathcal{A}\models\varphi$ pro každý axiom $\,\varphi$ teorie T.

Příklady

• Množina přirozených čísel spolu s konstantou $\,0$, binární relací $\,\leq$ a funkcemi $\,+$, $\,\cdot$ a $\,S$ ($\,S(n)=n+1$) tvoří model Peanovy aritmetiky. Tento model se nazývá standardní model.
• Libovolná grupa je modelem axiomatické teorie grup.

Izomorfismus modelů

Izomorfismem modelů (struktur) $\mathcal{A},\, \mathcal{B}$ téhož jazyka L je taková bijekce $i:A\rightarrow B$, která zachovává všechny symboly jazyka L, tj. splňuje:

• $\,i(c^{A})=c^B$ pro každý konstantní symbol c jazyka L
• $i(f^A(a_1,\ldots,a_n))=f^B(i(a_1),\ldots,i(a_n))$ pro každý funkční symbol f jazyka L četnosti n.
• $p^A(a_1,\ldots,a_n)\Leftrightarrow p^B(i(a_1),\ldots,i(a_n))$

Existuje-li izomorfismus modelů $\mathcal{A},\, \mathcal{B}$, říkáme, že jsou tyto modely izomorfní.

Související články

• Vnitřní model
• Teorie modelů
• Morleyova věta o kategoričnosti
• Vaughtova věta
• Löwenheim-Skolemova věta