Model (logika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Model (také struktura) je matematický pojem z oblasti matematickologické sémantiky. Je to seskupení objektů, na němž jsou definovány nějaké vztahy (relace) a přiřazení (funkce) tak, že vytváří „realizaci“ nějaké formální teorie.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Model jazyka[editovat | editovat zdroj]

Struktura pro jazyk L (také model jazyka L), který obsahuje z mimologických symbolů konstantní symboly , funkční symboly četností a predikátové symboly četností , je množina A nazývaná nosič struktury spolu s konstantami , funkcemi a relacemi . Konstanta , resp. funkce , resp. relace se nazývá realizací konstantního symbolu , resp. funkčního symbolu , resp. predikátového symbolu v modelu A a značí se , resp. , resp. . Struktura s nosičem A (a příslušnými realizacemi symbolů) se obvykle značí .

Tarského definice pravdy[editovat | editovat zdroj]

V tomto odstavci značí model jazyka L s mimologickými symboly popsanými výše. Ohodnocení proměnných v modelu je každá funkce e z množiny všech proměnných do nosiče A. Ohodnocení, které se shoduje s ohodnocením e na všech proměnných kromě x a na x má hodnotu a, značíme e(x/a).

Realizace termu[editovat | editovat zdroj]

Realizace termu t jazyka L při ohodnocení proměnných e v modelu A, značíme , se definuje indukcí dle složitosti takto:

  • , je-li t proměnná x
  • , je-li t konstantní symbol
  • , je-li a jsou termy

Platnost formule[editovat | editovat zdroj]

Platnost formule jazyka L při ohodnocení proměnných e v modelu definujeme indukcí dle složitosti takto ( platí v při ohodnocení e značíme , neplatí v při ohodnocení e značíme ):

  • Je-li atomická formule tvaru , pak , pokud .
  • Je-li atomická formule tvaru , pak , pokud .
  • Je-li formule tvaru , pak pokud
  • Je-li formule tvaru , pak pokud buďto nebo .
  • Je-li formule tvaru , pak , pokud pro všechna .

Říkáme, že platí v modelu , značíme , pokud pro každé ohodnocení proměnných e.

Model teorie[editovat | editovat zdroj]

Je-li T teorie v jazyce L a struktura pro tento jazyk, pak říkáme, že je modelem T, značíme , pokud pro každý axiom teorie T.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Izomorfismus modelů[editovat | editovat zdroj]

Izomorfismem modelů (struktur) téhož jazyka L je taková bijekce , která zachovává všechny symboly jazyka L, tj. splňuje:

  • pro každý konstantní symbol c jazyka L
  • pro každý funkční symbol f jazyka L četnosti n.

Existuje-li izomorfismus modelů , říkáme, že jsou tyto modely izomorfní.

Související články[editovat | editovat zdroj]