Goodsteinova posloupnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Goodsteinova posloupnost je matematický pojem označující jistý druh posloupnosti přirozených čísel. Goodsteinovy posloupnosti a s nimi související Goodsteinova věta jsou dobrým příkladem toho, jak mohou vlastnosti nekonečných množin (v tomto případě konkrétně ordinálních čísel) ovlivňovat pravdivost tvrzení o přirozených číslech, tedy o objektech konečných.

O vlastnostech Goodsteinových posloupností totiž nelze rozhodnout v běžné Peanově aritmetice z jejích axiomů - Goodsteinova věta je na těchto axiomech nezávislá. Teprve s použitím transfinitní rekurze a výsledků ordinální aritmetiky je tato věta dokazatelná.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Goodsteinova posloupnost je tvořena rekurzivně ze svého prvního členu následujícím způsobem:

1.Zvolme si jako první člen posloupnosti nějaké přirozené číslo (například ).

2.Vyjádřeme toto číslo jako mocninný rozvoj čísla 2 a totéž proveďme i s exponenty jednotlivých členů rozvoje:

3. Další člen posloupnosti vznikne z předchozího vždy tak, že všechna čísla základu rozvoje nahradíme číslem o 1 vyšším, od výsledku odečteme 1 a vzniklé číslo opět vyjádříme způsobem popsaným ve 2, ale tentokrát pro vyšší základ:




Vlastnosti Goodsteinových posloupností[editovat | editovat zdroj]

Je na první pohled vidět, že taková posloupnost zpočátku velice rychle roste - doporučuji zkusit si vypočítat hodnotu prvních pár členů - i pro malý první člen. Co teprve v případě, že bychom se nedrželi při zdi a místo 21 začali například s 1021!

Velice překvapující je proto tvrzení Goodsteinovy věty, která říká:
Pro každou Goodsteinovu posloupnost existuje takové přirozené číslo , pro které je .

Goodsteinova posloupnost tedy na počátku velice rychle roste, ale dříve nebo později se zarazí, začne klesat, a nakonec skončí na nule. I pro velmi malý první člen však může být doba po níž se posloupnost dostane na nulu ohromná - například pro je poprvé rovné nule až pro , což je číslo, které má 121 210 700 číslic.

Související články[editovat | editovat zdroj]