Kofinál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Kofinál či také kofinalita limitního ordinálu je matematický pojem z oblasti teorie množin (ordinální aritmetiky). Je to jedna ze základních charakteristik limitních ordinálů, vyjadřuje „míru přístupnosti horních pater ordinálu“.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Pojem kofinality má smysl definovat jen pro limitní ordinální čísla. Dále tedy budou označovat libovolná ordinální čísla a budou označovat vždy limitní ordinály.

Kofinální podmnožina[editovat | editovat zdroj]

Řekneme, že množina je kofinální podmnožinou , existuje-li pro každé takové , že . Říkáme také, že A je kofinální s .

Například

  • množina je kofinální podmnožina ordinálu .
  • množina je kofinální podmnožina ordinálu .
  • množina je kofinální podmnožina ordinálu pro každé .

Kofinál a kofinalita[editovat | editovat zdroj]

Kofinálem limitního ordinálu rozumíme nejmenší ordinál takový, že existuje množina kofinální s , jejímž ordinálním typem je (tj. A je -izomorfní s ). Kofinál limitního ordinálu se značí .

Kofinalitou rozumíme mohutnost (kardinalitu) . Lze ukázat, že pro každé je kardinální číslo, a tedy pojmy kofinál a kofinalita splývají.

Například

  • pro každé

Regulární a singulární ordinál[editovat | editovat zdroj]

Limitní ordinál, který je roven své kofinalitě se nazývá regulární. V opačném případě (je-li kofinalita menší) se nazývá singulární.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Pro každý limitní ordinál platí
  • Pro každý limitní ordinál platí .
  • Pro všechna je kardinální číslo.

Dále za předpokladu axiomu výběru:

  • Pro každý nekonečný kardinál platí .

Související články[editovat | editovat zdroj]