Forsing

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Forsing (používá se též anglický termín forcing) je v matematice obecná důkazová technika, která je základní metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin. Poprvé ji použil roku 1962 americký matematik Paul Cohen. O rok později užitím forsingu dokázal bezespornost negace hypotézy kontinua s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin. Ještě v 60. letech 20. století byla rozpracována Dana Scottem, Robertem Solovayem a Petrem Vopěnkou do teorie booleovsky ohodnocených modelů. Forsing je v současné době v podstatě univerzální metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin.

Princip forsingu[editovat | editovat zdroj]

Tento odstavec obsahuje velmi zjednodušené podání základní myšlenky forsingu, které má pouze motivační smysl a je matematicky zcela nepřesné. Přesný popis metody forsingu je v následujících odstavcích.

Metoda forsingu spočívá v rozšiřování modelů teorie množin do modelů nových přidáním prvků, které zajistí platnost požadovaného tvrzení v takto rozšířeném modelu.

V obecné výchozí situaci je tedy dán nějaký model M teorie množin, o kterém díky Löwenheim-Skolemově větě můžeme předpokládat, že je spočetný (to je čistě technický požadavek, který je možno obejít). Předpokládejme, že je dán nějaký model teorie množin N rozšiřující M, tj. M\subseteq N. V této situaci mohou existovat prvky modelu N, které nejsou prvky M, ale jsou podmnožinami M, tj. taková x, že x\in N\setminus M a x\subseteq M (taková x jsou pak „polomnožinami“ v M). Cílem forsingu je sestrojit nějaký model M[G] ležící mezi M a N, tj. takový, který obsahuje všechny prvky M a navíc i některé podmnožiny M, které v M neleží, ale leží v N.

Myšlenku konstrukce modelu M[G] lze velmi zjednodušeně vyjádřit následovně. Ty podmnožiny M, které v novém modelu M[G] mají být, lze ohodnotit číslem 1 a zbylé množiny číslem 0. Protože však předem nevíme, které množiny musí v M[G] být, aby byl modelem teorie množin, nestačí ohodnocovat pouze pomocí nul a jedniček, ale je nutné použít strukturu nějaké Booleovy algebry B\in M. Každé podmnožině M pak je přiřazena nějaká booleovská hodnota b\in B, která určuje „míru“ jejího náležení do M[G]. Ty množiny, které do M[G] nakonec budou skutečně zařazeny, lze určit pomocí nějakého filtru G\in N na B. Přesněji x\in M[G] právě tehdy když je booleovská hodnota x v G.

Konstrukce generických rozšíření[editovat | editovat zdroj]

Pro sestrojení rozšíření M[G] k danému modelu M se používá technika booleovských jmen.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Původní Cohenovy články obsahující důkaz nezávislosti hypotézy kontinua v ZFC:

Literatura[editovat | editovat zdroj]