Forsing

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Forsing (používá se též anglický termín forcing) je v matematice obecná důkazová technika, která je základní metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin. Poprvé ji použil roku 1962 americký matematik Paul Cohen. O rok později užitím forsingu dokázal bezespornost negace hypotézy kontinua s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin. Ještě v 60. letech 20. století byla rozpracována Dana Scottem, Robertem Solovayem a Petrem Vopěnkou do teorie booleovsky ohodnocených modelů. Forsing je v současné době v podstatě univerzální metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin.

Princip forsingu[editovat | editovat zdroj]

Tento odstavec obsahuje velmi zjednodušené podání základní myšlenky forsingu, které má pouze motivační smysl a je matematicky zcela nepřesné. Přesný popis metody forsingu je v následujících odstavcích.

Metoda forsingu spočívá v rozšiřování modelů teorie množin do modelů nových přidáním prvků, které zajistí platnost požadovaného tvrzení v takto rozšířeném modelu.

V obecné výchozí situaci je tedy dán nějaký model teorie množin, o kterém díky Löwenheim-Skolemově větě můžeme předpokládat, že je spočetný (to je čistě technický požadavek, který je možno obejít). Předpokládejme, že je dán nějaký model teorie množin rozšiřující , tj. . V této situaci mohou existovat prvky modelu , které nejsou prvky , ale jsou podmnožinami , tj. taková , že a (taková x jsou pak „polomnožinami“ v ). Cílem forsingu je sestrojit nějaký model ležící mezi a , tj. takový, který obsahuje všechny prvky a navíc i některé podmnožiny , které v neleží, ale leží v .

Myšlenku konstrukce modelu lze velmi zjednodušeně vyjádřit následovně. Ty podmnožiny , které v novém modelu mají být, lze ohodnotit číslem a zbylé množiny číslem . Protože však předem nevíme, které množiny musí v být, aby byl modelem teorie množin, nestačí ohodnocovat pouze pomocí nul a jedniček, ale je nutné použít strukturu nějaké Booleovy algebry . Každé podmnožině M pak je přiřazena nějaká booleovská hodnota , která určuje „míru“ jejího náležení do . Ty množiny, které do M[G] nakonec budou skutečně zařazeny, lze určit pomocí nějakého filtru na . Přesněji právě tehdy když je booleovská hodnota v .

Konstrukce generických rozšíření[editovat | editovat zdroj]

Pro sestrojení rozšíření k danému modelu se používá technika booleovských jmen.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Původní Cohenovy články obsahující důkaz nezávislosti hypotézy kontinua v ZFC:

Literatura[editovat | editovat zdroj]