Forsing

Forsing (používá se též anglický termín forcing) je v matematice obecná důkazová technika, která je základní metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin. Poprvé ji použil roku 1962 americký matematik Paul Cohen. O rok později užitím forsingu dokázal bezespornost negace hypotézy kontinua s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin. Ještě v 60. letech 20. století byla rozpracována Dana Scottem, Robertem Solovayem a Petrem Vopěnkou do teorie booleovsky ohodnocených modelů. Forsing je v současné době v podstatě univerzální metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin.

Princip forsingu

Tento odstavec obsahuje velmi zjednodušené podání základní myšlenky forsingu, které má pouze motivační smysl a je matematicky zcela nepřesné. Přesný popis metody forsingu je v následujících odstavcích.

Metoda forsingu spočívá v rozšiřování modelů teorie množin do modelů nových přidáním prvků, které zajistí platnost požadovaného tvrzení v takto rozšířeném modelu.

V obecné výchozí situaci je tedy dán nějaký model $M$ teorie množin, o kterém díky Löwenheim-Skolemově větě můžeme předpokládat, že je spočetný (to je čistě technický požadavek, který je možno obejít). Předpokládejme, že je dán nějaký model teorie množin $N$ rozšiřující $M$, tj. $M\subseteq N$. V této situaci mohou existovat prvky modelu $N$, které nejsou prvky $M$, ale jsou podmnožinami $M$, tj. taková $x$, že $x\in N\setminus M$ a $x\subseteq M$ (taková x jsou pak „polomnožinami“ v $M$). Cílem forsingu je sestrojit nějaký model $M[G]$ ležící mezi $M$ a $N$, tj. takový, který obsahuje všechny prvky $M$ a navíc i některé podmnožiny $M$, které v $M$ neleží, ale leží v $N$.

Myšlenku konstrukce modelu $M[G]$ lze velmi zjednodušeně vyjádřit následovně. Ty podmnožiny $M$, které v novém modelu $M[G]$ mají být, lze ohodnotit číslem $1$ a zbylé množiny číslem $0$. Protože však předem nevíme, které množiny musí v $M[G]$ být, aby byl modelem teorie množin, nestačí ohodnocovat pouze pomocí nul a jedniček, ale je nutné použít strukturu nějaké Booleovy algebry $B\in M$. Každé podmnožině $M$ pak je přiřazena nějaká booleovská hodnota $b\in B$, která určuje „míru“ jejího náležení do $M[G]$. Ty množiny, které do $M[G]$ nakonec budou skutečně zařazeny, lze určit pomocí nějakého filtru $G\in N$ na $B$. Přesněji $x\in M[G]$ právě tehdy když je booleovská hodnota $x$ v $G$.

Konstrukce generických rozšíření

Pro sestrojení rozšíření $M[G]$ k danému modelu $M$ se používá technika booleovských jmen.

Odkazy

Související články

• Paul Cohen
• Hypotéza kontinua
• Model (logika)

Externí odkazy

• Timothy Y. Chow: A beginner’s guide to forcing (PDF, PostScript; anglicky), oai:arXiv.org:0712.1320

Původní Cohenovy články obsahující důkaz nezávislosti hypotézy kontinua v ZFC:

• Paul J. Cohen: The Independence of the Continuum Hypothesis, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Vol. 50, No. 6. (Dec. 15, 1963), pp. 1143–1148.
• Paul J. Cohen: The Independence of the Continuum Hypothesis, II, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Vol. 51, No. 1. (Jan. 15, 1964), pp. 105-110.

Literatura

• BALCAR, Bohuslav; ŠTĚPÁNEK, Petr. Teorie množin. 2. opr. a rozš. vyd. [s.l.]: Academia, 2001. ISBN 80-200-0470-X. 
• KUNEN, Kenneth. Set theory: An Introduction to Independence Proofs. [s.l.]: North-Holland, 1980. Dostupné online. ISBN 0-444-85401-0.