Axiom výběru

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Axiom výběru (ozn. (AC)) je axiom často přidávaný k obvyklým axiomům Zermelovy-Fraenkelovy teorie množin (ZF). Poprvé jej formuloval Ernst Zermelo v roce 1904.

Formulace[editovat | editovat zdroj]

Tento axiom tvrdí:

Pro každý neprázdný soubor neprázdných množin existuje funkce, která z každé množiny tohoto souboru vybírá právě jeden prvek.

V matematické notaci:

(\forall I\neq \emptyset) (\forall i) (i\in I \implies A_{i} \neq \emptyset) \implies (\exists f (f\ \mbox{je funkce} \, \and \, \operatorname{dom}(f)=I \, \and \, (\forall i) (i \in I \implies f(i) \in A_{i}))).

Motivace pro přijetí AC[editovat | editovat zdroj]

Důležitou vlastností (AC) je to, že umožňuje ke každému souboru množin získat soubor jejich prvků, z každé množiny jeden, a to bez znalosti jakéhokoli algoritmu, kterým by tento výběr prvků mohl být proveden, pouze z předpokladu neprázdnosti souboru i jednotlivých množin (tj. nekonstruktivně). Na konečném souboru množin je (AC) snadno dokazatelný – i podle selského rozumu je zřejmé, že vybrat z každé hromady kamení jeden kámen není žádný problém. Problémem začíná být až nekonečný soubor množin a to především soubory „hodně nekonečné“ (nespočetné, bez dobrého uspořádání).

V některých odvětvích matematiky, zejména v nekonečné kombinatorice, ale například i v matematické analýze, se (AC) ukazuje jako zcela nezbytný předpoklad pro rozvoj těchto disciplín. S (AC) je ekvivalentní řada principů teorie množin, které zásadním způsobem „učesávají“ svět teorie množin – nejznámějšími z nich jsou princip maximality a princip dobrého uspořádání. Přijetím axiomu výběru se tedy svět teorie množin stává (z pohledu jeho příznivců) přehlednějším, ale ne zas tolik, aby přestal být zajímavým.

Motivace pro odmítnutí AC[editovat | editovat zdroj]

Odpůrci zařazení (AC) mezi standardní axiomy teorie množin (například konstruktivisté) poukazují na jeho odlišný charakter od ostatních podobných axiomů teorie množin, které obvykle postulují možnost vytvoření nové množiny z již existujících množin jednoduchým a přehledným způsobem (viz axiom sumy, axiom potence, axiom dvojice). Na rozdíl od nich (AC) nedává žádnou představu o tom, jak výběrová funkce (viz formulace axiomu) vypadá – je tedy spíše „čistě existenční“ než „konstrukční“.

Druhým argumentem je, že (AC) příliš omezuje rozmanitost objektů ve světě teorie množin – podle principu dobrého uspořádání ekvivalentního s (AC) lze každou množinu uspořádat tak, aby byla izomorfní s některým ordinálním číslem – to tvrzení tak vlastně říká, že teorie množin nepopisuje žádné objekty, které by nešlo dobře uspořádat.

Dalo by se říci, že svět ZF s (AC) stojí někde na půli cesty mezi rozmanitým, ale hůře popsatelným a použitelným světem ZF bez (AC), a mezi příliš omezeným a zjednodušeným, ale zato dokonale přehledným světem ZF s axiomem konstruovatelnosti.

Nezávislost AC na axiomech ZF[editovat | editovat zdroj]

(AC) je bezesporný neboli konzistentní s ostatními axiomy Zermelovy-Fraenkelovy teorie množin (je takzvaně relativně bezesporný s ZF). Platí totiž v jednom modelu teorie množin, a to v univerzu konstruovatelných množin, což dokázal v roce 1940 Kurt Gödel. V tomto modelu platí dokonce axiom silného výběru a dále například zobecněná hypotéza kontinua.

Také negace (AC) je relativně bezesporná s ZF, a tedy (AC) je nezávislý na axiomech ZF. Přidáním negace (AC) k ZF však vzniká již teorie s dosti podivnými vlastnostmi (lze v ní například bezesporně předpokládat neplatnost klasické Heineho věty).

Související články[editovat | editovat zdroj]