Zobecněná hypotéza kontinua

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Zobecněná hypotéza kontinua (označovaná často zkratkou GCH z anglického Generalized Continuum Hypothesis) je matematická hypotéza z oboru teorie množin, konkrétněji z oboru kardinální aritmetiky.

Formulace hypotézy[editovat | editovat zdroj]

Zobecněnou hypotézu kontinua formuloval v roce 1908 Felix Hausdorff v následující podobě:

Pro každé ordinální číslo platí:

Zobecněná hypotéza kontinua tedy v podstatě tvrdí, že neexistuje žádná mohutnost mezi kardinálním číslem a mohutností jeho potenční množiny .

Speciálně pro dostáváme , což není nic jiného, než Cantorova hypotéza kontinua (CH), která tvrdí, že nejmenší nespočetnou mohutností je mohutnost kontinua, tj. množiny reálných čísel.

Řešení GCH[editovat | editovat zdroj]

K.Gödel ukázal ve 40. letech 20. století, že GCH je bezesporná s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin (ZF) – to znamená, že v ZF nelze dokázat její opak. (Přesnější by bylo mluvit o relativní bezespornosti – pokud je bezesporná ZF, pak je bezesporná i ZF obohacená o GCH.)

K důkazu použil třídy tzv. konstruovatelných množin – jedná se vnitřní model teorie množin (pokud přijmeme navíc axiom konstruovatelnosti – tj. předpoklad, že všechny množiny jsou konstruovatelné), ve kterém lze dokázat GCH.

Zajímavým výsledkem z roku 1960 je, že z GCH vyplývá platnost axiomu výběru – to znamená, že teorie vzniklá ze ZF přijmutím GCH je přimejmenším stejně silná, jako ZFC.

Související články[editovat | editovat zdroj]