Symetrická diference

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Venn0110.svg
Vennův diagram pro

Symetrický rozdíl množin je
Sjednocení bez průsečíku množin
Venn0111.svg Venn0001.svg Venn0110.svg

V matematice se jako symetrická diference nebo symetrický rozdíl dvou množin označuje taková množina, která obsahuje všechny prvky z obou množin, které nejsou v jejich průniku. Symetrická diference množin A a B se značí jako

nebo

nebo

Například symetrická diference množin a je množina . Symetrická diference množin dívek a studentů je množina všech dívek, které nejsou studentky, a všech chlapců studentů.

Potenční množina každé množiny se stane abelovou grupou při symetrické diferenci s prázdnou množinou, protože neutrální prvek grupy a každý další prvek v této grupě je svým vlastním inverzním prvkem.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Venn 0110 1001.svg
Vennův diagram pro

Venn 0110 0110.svg Venn 0000 1111.svg Venn 0110 1001.svg

Symetrická diference je ekvivalentní se sjednocením obou rozdílů množin:

a také může být vyjádřena jako sjednocení dvou množin bez jejich průniku:

nebo pomocí operace XOR:

Zvláště pak platí, že:

Symetrická diference je komutativní a asociativní:

Průnik je distributivní nad symetrickou diferencí:

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Symmetric difference na anglické Wikipedii.