Doplněk množiny

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Doplněk množiny A v U:

V matematice se pojmy doplněk množiny nebo komplement množiny označuje množina všech prvků, které nejsou v a přitom v nějaké jiné (předem dané) množině jsou obsaženy (na obrázku v ). Aby bylo možné doplněk definovat, je třeba znát množinu, vzhledem ke které se doplněk počítá.

Místo se někdy užívá značení nebo .

Formální definice[editovat | editovat zdroj]

Máme-li množinu a její podmnožinu , definujeme doplněk množiny vzhledem k množině jako . Tedy obsahuje všechny prvky, které jsou v , ale nejsou v .

Pokud máme pevně danou univerzální množinu , můžeme zkráceně hovořit jen o "doplňku ".

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Pokud je univerzální množina a , je

Pokud za univerzální množinu vezmeme množinu všech přirozených čísel bez nuly, doplňkem všech lichých čísel je množina všech sudých čísel. Doplňkem množiny je pak množina všech přirozených čísel větších než 2.

Pokud jsou univerzální množinou reálná čísla, je doplňkem všech algebraických čísel množina všech transcendentních čísel.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Následující pravidla uvádí několik základních vlastností doplňku množiny. Mějme univerzální množinu a její podmnožiny ,

  • A  AC  =  U
  • A  AC  =  Ø
  • ØC  =  U
  • UC  =  Ø
  • Pokud AB, pak BCAC
  • ACC  =  A.

De Morganovy zákony:

  • (A ∪ B)C = AC ∩ BC
  • (A ∩ B)C = AC ∪ BC

Související články[editovat | editovat zdroj]