Cantorova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Cantorova věta je jedním ze silných výsledků teorie množin, který je přitom dosažen jejími nejjednoduššími prostředky. Její znění je následující:
Pro libovolnou množinu potenční množina obsahující všechny podmnožiny množiny vyšší mohutnost než .

Význam a důsledky[editovat | editovat zdroj]

Tato věta má zajímavé důsledky především pro nekonečné množiny: pro každou nekonečnou množinu existuje množina s větší mohutností (tj. množina ještě o hodně „nekonečnější“ než původní množina). Například množina všech množin přirozených čísel má větší mohutnost, než samotná množina přirozených čísel.

K důkazu sporem je použita obdoba Cantorovy diagonální metody - pro každé myslitelné vzájemně jednoznačné zobrazení množiny x na množinu lze sestrojit prvek množiny , který do tohoto zobrazení nepatří.

Cantorova věta a její důsledky pro nekonečné množiny stojí na poměrně silných předpokladech - potřebují axiomaticky zaručenou existenci nekonečné množiny a existenci potenční množiny ke každé množině, jak je tomu například v Zermelo-Fraenkelově teorii množin s jejím axiomem nekonečna a axiomem potence. Například v alternativní teorii množin není díky odlišné axiomatické soustavě podobný výsledek dosažitelný.

V klasické intuitivní teorii množin, která nestála na axiomatických základech, ale chápala množiny jako libovolné dobře definované soubory objektů, vedla Cantorova věta k takzvanému Cantorovu paradoxu: Pokud je množina všech množin, pak množina všech jejích podmnožin má větší mohutnost než , což je spor.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Nechť je libovolná množina a množina všech podmnožin (potenční množina). Tvrzení, že má větší mohutnost než , je ekvivalentní tomu, že neexistuje zobrazení z do , které by bylo na (surjektivní). Toto ukážeme sporem:

Nechť existuje zobrazení , které je na. Tedy pro každý prvek (A je množina!) existuje nějaké tak, že .

Nyní definujme podmnožinu

.

obsahuje ty prvky , které nejsou ve svém obrazu daném zobrazením . je zřejmě podmnožina a tedy musí existovat tak, že . Mohou tedy nastat dvě možnosti:

  1. , to je ale spor s definicí , podle které , ale ,
  2. , jenže pak z definice plyne a podle předpokladu musí platit , což je opět spor.

Existence zobrazení , které je na, vede ke sporu a tedy má vždy větší mohutnost než .

Související články[editovat | editovat zdroj]