Zobrazení na

Surjektivní funkce.

Zobrazení na, nebo také surjektivní zobrazení, surjekce, je druh zobrazení mezi množinami, které zobrazuje na celou cílovou množinu. Každý prvek cílové množiny má tedy alespoň jeden vzor.

Definice

Zobrazení $f:X\rightarrow Y$$f:X\rightarrow Y$ je zobrazením množiny $X$$X$ na množinu $Y$$Y$, jestliže se na každý prvek z $Y$$Y$ zobrazí alespoň jeden prvek množiny $X$$X$, tedy

$\forall y\in Y\quad \exists x\in X\qquad f(x)=y$$\forall y\in Y\quad \exists x\in X\qquad f(x)=y$.

Můžeme také psát, že $Y=f(X)$$Y=f(X)$. Laicky řečeno: v množině Y nezůstalo žádné „volné písmenko“.

Vzorec

Počet možných surjekcí pro p=|X| q=|Y| se vypočte jako

$q^{p}-{\begin{pmatrix}q\\q-1\end{pmatrix}}(q-1)^{p}+{\begin{pmatrix}q\\q-2\end{pmatrix}}(q-2)^{p}-...+(-1)^{q-1}{\begin{pmatrix}q\\1\end{pmatrix}}1^{p}$$q^{p}-{\begin{pmatrix}q\\q-1\end{pmatrix}}(q-1)^{p}+{\begin{pmatrix}q\\q-2\end{pmatrix}}(q-2)^{p}-...+(-1)^{{q-1}}{\begin{pmatrix}q\\1\end{pmatrix}}1^{p}$ $=\sum _{i=0}^{q-1}(-1)^{i}{\begin{pmatrix}q\\q-i\end{pmatrix}}(q-i)^{p}$$=\sum _{{i=0}}^{{q-1}}(-1)^{i}{\begin{pmatrix}q\\q-i\end{pmatrix}}(q-i)^{p}$ přičemž musí samozřejmě stále platit, že $p\geq q$$p\geq q$.

Dále vždy platí, že Sur[p,1] = 1

Tabulka pro počet surjekcí:

p\q	1	2	3	4	5
1	1	0	0	0	0
2	1	2	0	0	0
3	1	6	6	0	0
4	1	14	36	24	0
5	1	30	150	240	120

Příklady

• Reálná funkce $f(x)=2x+1$$f(x)=2x+1$ je na, protože pro každé $y\in \mathbb {R}$$y\in {\mathbb {R}}$ existuje $x=(y-1)/2$$x=(y-1)/2$, pro které $y=f(x)$$y=f(x)$.
• Reálná funkce $g(x)=x^{2}$$g(x)=x^{2}$ není na, neboť pro $y<0$$y<0$ neexistuje $x\in \mathbb {R}$$x\in {\mathbb {R}}$, pro které by $y=g(x)=x^{2}$$y=g(x)=x^{2}$. Pokud však budeme uvažovat funkci $g$$g$ jako funkci komplexní $g:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$$g:{\mathbb {C}}\rightarrow {\mathbb {C}}$, je tato funkce již na, pro každé $y\in \mathbb {C}$$y\in {\mathbb {C}}$ existuje $x={\sqrt {y}}$$x={\sqrt {y}}$.

Související články

• Prosté zobrazení (injekce)
• Bijekce