Neutrální prvek

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V algebře je neutrální prvek e množiny A s binární operací takový prvek, pro nějž platí, že výsledkem operace neutrálního prvku a libovolného x ∈ A je x.

V případě, že se pro operaci používá multiplikativní značení, např , je e často nazýván jednotkovým prvkem . V případě použití aditivního značení, např. , je e často nazýván nulovým prvkem . Pro neutrální prvek se někdy také používá výraz identita.

Formální definice[editovat | editovat zdroj]

Buď množina a operace na .

  • Prvek se nazývá levý neutrální, právě když .
  • Prvek se nazývá pravý neutrální, právě když .
  • Prvek se nazývá neutrální, právě když .

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Pokud jsou reálná čísla se sčítáním, je číslo 0 neutrálním prvkem.
  • Pokud jsou reálná čísla s násobením, je neutrálním prvkem číslo 1.
  • Pokud jsou n-rozměrné čtvercové matice se sčítáním, neutrálním prvkem je nulová matice.
  • Pokud jsou n-rozměrné matice s násobením, je neutrálním prvkem jednotková matice.
  • Pokud je množina všech zobrazení z množiny do sebe sama a je skládání funkcí, je neutrálním prvem funkce identita definovaná .
  • Pokud má pouze dva prvky a a operace je definována tak, že a , jsou oba prvky a levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.

Jak ukazuje poslední příklad, může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový.[pozn 1]

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

  1. Důkaz: Buď l levý neutrální a r pravý neutrální, pak . V množině A tedy může být jen jeden neutrální prvek.

Související články[editovat | editovat zdroj]