Monoid

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Asociativita   Neutrální prvek    Inverzní prvek
Grupa AnoAno AnoAno AnoAno
Monoid AnoAno AnoAno NeNe
Pologrupa AnoAno NeNe NeNe
Lupa NeNe AnoAno AnoAno
Kvazigrupa NeNe NeNe AnoAno
Grupoid NeNe NeNe NeNe
Struktury s jednou binární operací

V algebře je monoid algebraická struktura s jednou asociativní binární operací a neutrálním prvkem. Je to tedy grupoid, jehož operace je asociativní a který má neutrální prvek.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Monoid je grupoid (M; ·), tedy množina M s binární operací „·“ : M × MM, a těmito axiomy:

Někdy se uvádí i následující axiom plynoucí však z definice binární operace.

  • ∀ (x, y ∈ M) x·y ∈ M

Monoid tak je vlastně pologrupa s neutrálním prvkem.

Pokud bychom doplnili tyto axiomy o existenci inverzních prvků, byla by tato struktura grupou.

Monoid, jehož operace je také komutativní se nazývá komutativní monoid, nebo Abelovský monoid.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Homomorfismus monoidů[editovat | editovat zdroj]

O dvou monoidech (M; ·) a (M'; ∗) řekneme, že jsou homomorfní jestliže existuje zobrazení (homomorfismus) f: M → M' takové, že:

  • x,y∈M f(x·y)=f(x)∗f(y).
  • f(e)=e ', kde e je neutrální prvek grupoidu (M; ·) a e ' neutrální prvek grupoidu (M'; ∗).

Je-li zobrazení mezi dvěma monoidy bijektivní a je to homomorfismus, říkáme, že tyto dva monoidy jsou izomorfní.

Teorie kategorií[editovat | editovat zdroj]

V teorii kategorií je monoid objekt v monoidální kategorii se dvěma morfismy (v kategorii funktorů přirozenými transformacemi) splňující , a . Morfismus je morfismem mezi monoidy, pokud a . Monoidy v kategorii Set známé z algebry jsou příkladem kategorických monoidů, neboť Set s operací a terminálním prvkem tvoří monoidální kategorii.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]