Identita (matematika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Tento článek je o identické funkci. O prvku množiny pojednává článek neutrální prvek.

Identita, nebo také identické zobrazení, je matematické zobrazení, které přiřazuje prvku množiny ten samý prvek stejné množiny. Aplikací identity se tedy nic nezmění, výsledkem je opět vstupní hodnota. Značí se Id nebo I.

Identitou se také v jiném významu rozumí rovnice, která je splněna ve všech případech, tzn. její levá a pravá strana jsou identické, mají pouze jiný tvar. Na příklad .

Často používané identity[editovat | editovat zdroj]

Algebraické identity[editovat | editovat zdroj]

Některé pokládají základy algebry jako na příklad nebo . Jiné se používají pro zjednodušování algebraických výrazů.

Mezi nejčastější patří:

Obecně

pro lichá

pro sudá , která nejsou mocninou čísla .

Pro , která jsou mocninou čísla zapišme pro nějaké . Označme jako prvočíselný součinitel takový, že pro nějaké .

.

Exponenciální identity[editovat | editovat zdroj]

,

,

Vlastnosti identického zobrazení[editovat | editovat zdroj]

Identické zobrazení na vektorovém prostoru je lineární. Na konečnědimenzionálním vektorovém prostoru je dokonce kompaktní.

Identita jako neutrální prvek grupy[editovat | editovat zdroj]

Máme-li grupu zobrazení s operací skládání, je právě identita její neutrální prvek.

Kupříkladu matice reprezentují lineární zobrazení na konečnědimenzionálních vektorových prostorech a násobení matic reprezentuje skládání těchto zobrazení. Proto v grupě matic s operací násobení je neutrální prvek identita (identické zobrazení), tedy jednotková matice.

Identita jako geometrické zobrazení [editovat | editovat zdroj]

Geometrická identita.

Jako geometrické zobrazení představuje identita takové zobrazení, při němž obrazem každého bodu geometrického útvaru je bod geometrického útvaru , přičemž každý takový bod je shodný s bodem , tzn. . Všechny body geometrického útvaru jsou tedy shodné s body útvaru , tzn. .

Související články[editovat | editovat zdroj]