Axiom silného výběru

Axiom silného výběru (též silný axiom výběru či zkráceně (AS), ekvivalentní s axiomem omezené velikosti) je matematické tvrzení z oblasti teorie množin, které je nezávislé při všech obvyklých axiomatizacích této teorie. Často se přidává jako nový axiom, ale ve standardních axiomatizacích jakými jsou Zermelo-Fraenkelova nebo Von Neumann-Gödel-Bernaysova chybí, neboť má mnohé silné (a často nechtěné) důsledky.

Znění

V Zermelo-Fraenkelově teorii množin (ZF) je nutné pro formulaci axiomu silného výběru rozšířit jazyk této teorie o jeden nový unární funkční symbol ${\mathcal {C}}$. (AS) lze pak formulovat takto:

${\mathcal {C}}$ je bijekce mezi univerzální třídou $\mathbb {V}$ a třídou všech ordinálních čísel $\mathbb {O}$n.

Ve Von Neumann-Gödel-Bernaysově teorii (NBG) lze vystačit s jazykem nerozšířeným při stejné definici.

Nezávislost

(AS) platí v jednom vnitřním modelu teorie množin, konkrétně v univerzu konstruovatelných množin. Je proto bezesporný s axiomy teorie množin. Protože (AS) implikuje (obyčejný) axiom výběru, plyne z nedokazatelnosti tohoto axiomu nedokazatelnost (AS). Tedy (AS) je nezávislý na axiomech (ZF).

Některé důsledky

Axiom silného výběru má mnoho silných důsledků, zde jsou některé z nich:

• (obyčejný) axiom výběru
• (v NBG) každé dvě vlastní třídy mají tutéž mohutnost (tj. existuje mezi nimi bijekce) (toto bývá nazýváno axiom omezené velikosti)
• (spolu s axiomem fundovanosti) existuje netriviální elementární vnoření univerza do tranzitivní třídy

Související články

• Axiom výběru
• Axiom superuniverzality

Portály: Matematika