Monotónní funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Příklad monotonní funkce

Monotonie je vlastnost, označující, zda je funkce v bodě či na daném intervalu monotónní, tzn. zda je konstantní, rostoucí, klesající, příp. nerostoucí, či neklesající.

Tato vlastnost bývá někdy označována jako monotonnost, popř. monotonicita.

Monotonie lokální (v bodě): Funkce je v bodě a rostoucí, jestliže existuje nějaké okolí U(a) bodu a takové, že pro všechna v tomto okolí platí:

.

Obdobně je funkce klesající, pokud

,

nerostoucí pro

,

a neklesající pro

.

Monotonie globální (na intervalu): Funkce je na intervalu rostoucí, jestliže pro všechna z tohoto intervalu platí:

.

Obdobně je funkce na klesající, pokud

,

nerostoucí pokud

,

a neklesající pokud

.

Na obrázku je funkce rostoucí (a zároveň neklesající) například v intervalu , klesající (a zároveň nerostoucí) například v intervalu .

Monotónní funkce[editovat | editovat zdroj]

Mezi monotónní funkce řadíme funkce:

  • konstantní funkce, tzn. pro každé z definičního oboru funkce platí
  • rostoucí funkce, tzn. pro každé z definičního oboru funkce platí
  • klesající funkce, tzn. pro každé z definičního oboru funkce platí
  • neklesající funkce, tzn. pro každé z definičního oboru funkce platí
  • nerostoucí funkce, tzn. pro každé z definičního oboru funkce platí

Rostoucí a klesající funkce označujeme jako ryze monotonní na daném intervalu. Interval, na kterém je funkce ryze monotónní, se nazývá interval monotonie.

K vyšetření monotonie funkce v bodě lze využít první derivace funkce (pokud existuje), přičemž platí následující implikace (které nelze obrátit):

  • Jestliže , pak je v bodě rostoucí.
  • Jestliže , pak je v bodě klesající.
  • Jestliže je v bodě neklesající, pak .
  • Jestliže je v bodě nerostoucí, pak .

Terminologie[editovat | editovat zdroj]

Bohužel, existuje ještě alternativní terminologie, která se trochu nešťastně překrývá s tou výše představenou. Funkce se dle této alternativní terminologie nazývá:

  • ryze rostoucí pokud je rostoucí dle definice výše,
  • rostoucí pokud je neklesající dle...,
  • ryze klesající pokud je klesající dle...,
  • klesající pokud je nerostoucí dle terminologie výše.

Pokud tedy v knize či na Internetu najdete tvrzení s výrazem "rostoucí", pak není jasné, co se tím myslí, bez nahlédnutí do autorových definic těchto pojmů. V některých větách toto hraje roli. Naštěstí mnoho vět pracuje s pojmy "monotonní" a "ryze monotonní", na kterých se terminologie shodují.

Je těžké říct, která terminologie je rozšířenější, podobná situace je mimochodem i v terminologii anglické. Pro čtenáře to každopádně znamená nutnost být ostražitý.

Související články[editovat | editovat zdroj]