Monotónní funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Příklad monotonní funkce

Monotonie je vlastnost, označující, zda je funkce v bodě či na daném intervalu monotónní, tzn. zda je konstantní, rostoucí, klesající, příp. nerostoucí, či neklesající.

Tato vlastnost bývá někdy označována jako monotonnost, popř. monotonicita.

Monotonie lokální (v bodě): Funkce je v bodě a rostoucí, jestliže existuje nějaké okolí U(a) bodu a takové, že pro všechna x v tomto okolí platí:

x > a \Rightarrow f(x) > f(a) \quad\and\quad x < a \Rightarrow f(x) < f(a).

Obdobně je funkce klesající, pokud

x > a \Rightarrow f(x) < f(a) \quad\and\quad x < a \Rightarrow f(x) > f(a),

nerostoucí pro

x > a \Rightarrow f(x) \le f(a) \quad\and\quad x < a \Rightarrow f(x) \ge f(a),

a neklesající pro

x > a \Rightarrow f(x) \ge f(a) \quad\and\quad x < a  \Rightarrow f(x) \le f(a).

Monotonie globální (na intervalu): Funkce je na intervalu I rostoucí, jestliže pro všechna x < y z tohoto intervalu platí:

f(x) < f(y).

Obdobně je funkce na I klesající, pokud

f(x) > f(y),

nerostoucí pokud

f(x) \ge f(y),

a neklesající pokud

f(x) \le f(y).

Na obrázku je funkce rostoucí (a zároveň neklesající) například v intervalu \langle x_3, x_5\rangle, klesající (a zároveň nerostoucí) například v intervalu \langle x_2, x_3 \rangle.

Monotónní funkce[editovat | editovat zdroj]

Mezi monotónní funkce řadíme funkce:

  • konstantní funkce, tzn. pro každé x \neq y z definičního oboru funkce f(x) platí f(x) = f(y)
  • rostoucí funkce, tzn. pro každé x < y z definičního oboru funkce f(x) platí f(x) < f(y)
  • klesající funkce, tzn. pro každé x < y z definičního oboru funkce f(x) platí f(x) > f(y)
  • neklesající funkce, tzn. pro každé x < y z definičního oboru funkce f(x) platí f(x) \leq f(y)
  • nerostoucí funkce, tzn. pro každé x < y z definičního oboru funkce f(x) platí f(x) \geq f(y)

Rostoucí a klesající funkce označujeme jako ryze monotonní na daném intervalu. Interval, na kterém je funkce ryze monotónní, se nazývá interval monotonie.

K vyšetření monotonie funkce f(x) v bodě x lze využít první derivace f^\prime(x) funkce (pokud existuje), přičemž platí následující implikace (které nelze obrátit):

  • Jestliže f^\prime(x) > 0, pak f(x) je v bodě x rostoucí.
  • Jestliže f^\prime(x) < 0, pak f(x) je v bodě x klesající.
  • Jestliže f(x) je v bodě x neklesající, pak f^\prime(x) \geq 0.
  • Jestliže f(x) je v bodě x nerostoucí, pak f^\prime(x) \leq 0.

Terminologie[editovat | editovat zdroj]

Bohužel, existuje ještě alternativní terminologie, která se trochu nešťastně překrývá s tou výše představenou. Funkce se dle této alternativní terminologie nazývá:

  • ryze rostoucí pokud je rostoucí dle definice výše,
  • rostoucí pokud je neklesající dle...,
  • ryze klesající pokud je klesající dle...,
  • klesající pokud je nerostoucí dle terminologie výše.

Pokud tedy v knize či na Internetu najdete tvrzení s výrazem "rostoucí", pak není jasné, co se tím myslí, bez nahlédnutí do autorových definic těchto pojmů. V některých větách toto hraje roli. Naštěstí mnoho vět pracuje s pojmy "monotonní" a "ryze monotonní", na kterých se terminologie shodují.

Je těžké říct, která terminologie je rozšířenější, podobná situace je mimochodem i v terminologii anglické. Pro čtenáře to každopádně znamená nutnost být ostražitý.

Související články[editovat | editovat zdroj]