Logaritmus

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Logaritmus kladného reálného čísla x při základu a (aR+- {1}) je takové reálné číslo

,

pro které platí

.

V tomto vztahu se číslo a označuje jako základ logaritmu (báze), logaritmované číslo x se někdy označuje jako argument či numerus, y je pak logaritmem čísla x při základu a.

Graf logaritmické funkce o základu e
Graf logaritmické funkce o základu 10

Logaritmická funkce je matematická funkce, která je inverzní k exponenciální funkci.

Intuitivní odvození[editovat | editovat zdroj]

Myšlenka logaritmu vznikla jako rozšíření myšlenky exponentu. Že 2 × 2 = 4 můžeme zapsat také jako 21 × 21 = 22 a místo 4 × 8 = 32 můžeme napsat 22 × 23 = 25. Exponent součinu je tedy součet exponentů obou součinitelů, takže při zvoleném základu (2) můžeme násobení převést na sčítání exponentů, zatím jen pro celé exponenty. Podobně můžeme zapsat i dělení: 32:4 = 25: 22 = 23, čili 8. Stejně 1/2 = 1:2 = 20:21 = 2-1 čili 0,5. Místo dělení stačí odečítat exponenty.

Číslo 2 jsme zvolili jako základ a místo „exponentu dvou“ můžeme psát log2. Můžeme tedy napsat, že log2 32 = 5, log2 8 = 3, log2 4 = 2, log2 1 = 0 a log2 0,5 = -1. Pro každé číslo x (kromě nuly) platí, že log2 2x = (log2 x) + 1, log2 4x = (log2 x) + 2. Protože 8 = 23, můžeme také psát 8 = 21 × 21 × 21 = 2(1+1+1) a 8 = 2(3x1), takže místo umocňování stačí exponent násobit a místo odmocnění exponent dělit.

Kdybychom místo dvojky zvolili základ 10 (desítkový logaritmus), můžeme psát log10 0,1 = -1, log10 1 = 0 (to platí pro každý základ), log10 100 = 2 atd. I tady bude platit, že log1010x = (log10 x) + 1, log10 100x = (log10 x) + 2.

Dokud jsme mluvili o exponentech, mělo to smysl jen pro celá čísla. Když jsme ale zmínili, že místo odmocňování stačí exponent dělit, může vyjít i necelé číslo: druhou odmocninu z deseti bychom mohli zapsat jako 10(0,5). To je právě to, co dělá logaritmická funkce: pokud různé hodnoty výrazu zx vyneseme do grafu (viz obrázek), můžeme jimi proložit spojitou křivku – logaritmickou funkci, které má hodnotu pro všechna reálná x>0. Logaritmus čísla 3 bude někde mezi log101 a log1010, tedy reálné číslo někde mezi nulou a jedničkou. Z tabulky můžeme zjistit, že log10 3 = 0,47712125472, takže číslo 3 můžeme zapsat jako 100,47712125472. I zde bude platit, že log10 10x = (log10 x) + 1, log10 0,1x = ( log10 x) - 1, že logaritmus součinu se rovná součtu logaritmů obou činitelů a logaritmus podílu se rovná rozdílu logaritmus dělence minus logaritmus dělitele. Logaritmus mocniny je násobek logaritmu mocněnce a logaritmus odmocniny je podíl logaritmu odmocněnce a logaritmu odmocnitele.

Historie a použití[editovat | editovat zdroj]

Počátkem novověku, s rozvojem astronomie a geodézie a s potřebami námořní navigace, nesmírně vzrostla potřeba složitých výpočtů, zejména trigonometrických, a to na velký počet platných číslic. O myšlence nahradit násobení sčítáním se poprvé zmiňuje korespondence švýcarského matematika a hodináře Josta Bürgiho v roce 1588. Ten skutečně sestavil tabulky funkce sinus a brzy po roce 1600 i tabulky jejích logaritmů, které však publikoval až roku 1620 v Praze. O šest let dříve publikoval metodu logaritmů skotský matematik John Napier, který tak platí za jejich objevitele, a roku 1617 publikoval první tabulky desítkových ("briggsových") logaritmů Henry Briggs.

Logaritmické tabulky čísel i goniometrických funkcí, s přesností na 5, 7, 10 až 14 platných číslic pak vycházely až do 20. století a byly nezbytnou pomůckou astronomů, geodetů, ale i námořních kapitánů a studentů aplikované matematiky. Každý gymnazista se učil zacházet se školními, pěti- nebo sedmimístnými tabulkami, dokud je nenahradily elektronické kalkulačky. Pro přibližné technické výpočty (na 3-4 platná místa) se od poloviny 19. století nesmírně rozšířilo logaritmické pravítko, do poloviny 20. století nástroj každého inženýra. Teprve s rozšířením elektronických kalkulaček a počítačů od 60. let 20. století tyto pomůcky pozvolna vymizely a s logaritmickou funkcí pracují hlavně matematici a teoretičtí fyzikové, kdežto praktický výpočet jejích hodnoty i logaritmů svěřujeme počítačům.

Vlastnosti logaritmů[editovat | editovat zdroj]

  • (Logaritmus je inverzní funkcí k exponenciální funkci o stejném základu.)
  • (Logaritmus součinu je součet logaritmů jednotlivých činitelů.)
  • (Logaritmus podílu je rozdíl logaritmů čitatele a jmenovatele.)
  • (tzn. ; logaritmus mocniny je roven exponent krát logaritmus základu)
  • (Formule umožňující vyčíslit logaritmus libovolného základu pomocí kalkulačky, případně logaritmických tabulek)

Několik užitečných odvození a důsledků[editovat | editovat zdroj]

Vlastnosti logaritmických funkcí[editovat | editovat zdroj]

Pro každou logaritmickou funkci platí:

  • je prostá
  • pro a > 1 je rostoucí, pro a ∈ (0; 1) je klesající
  • (graf funkce prochází bodem [1;0])
  • osa y je asymptotou grafu

Logaritmus komplexního čísla[editovat | editovat zdroj]

Často je potřeba vypočítat přirozený logaritmus komplexního čísla. Platí:

Byl zde použit exponenciální tvar komplexního čísla. Proměnná udává absolutní hodnotu komplexního čísla a udává argument komplexního čísla.

Máme-li tedy komplexní číslo, pak reálná část jeho logaritmu je rovna logaritmu absolutní hodnoty, zatímco imaginární udává argument (úhel). Je nutno uvést, že úhel komplexního čísla není definován jednoznačně, může se lišit o násobky . Proto se někdy zavádí tzv. hlavní hodnota logaritmu, značíme Ln, u které se většinou uvažují úhly z intervalu .

Využití[editovat | editovat zdroj]

Výpočty[editovat | editovat zdroj]

Pomocí výše uvedených rovností lze složitější operace převádět na jednodušší (násobení a dělení na sčítání a odčítání, mocnění a odmocniny na násobení a dělení), což se zvláště před rozšířením elektronických kalkulaček a počítačů využívalo při složitějších výpočtech prováděných ručně nebo mechanickými kalkulátory (které obvykle uměly jen sčítat). Pro usnadnění přepočtů existovaly logaritmické tabulky s předvypočítanými hodnotami logaritmů, případně logaritmické pravítko, mechanická pomůcka pro výpočty pomocí logaritmů.

Příkladem využití logaritmů je výpočet 17300 · √15478 pomocí tabulek logaritmů:

  1. Nejprve se celá rovnice zlogaritmuje:
  2. Pomocí rovností o logaritmech se rovnice rozloží na jednodušší části:
  3. V tabulkách se vyhledají příslušné logaritmy (tabulky ovšem obsahují hodnoty jen na několik platných číslic):
    • log 17300 ≅ 4,238
    • log 15478 ≅ log 15480 ≅ 4,1898
  4. Vypočte se výsledek logaritmovaného výrazu: log x = 4,238 + 2,0949 = 6,3329
  5. Rovnice se zpětně umocní podle daného základu, výsledek se v tabulce dohledá zpětně: 106,3329 ≅ 2152000.
  6. Nalezený výsledek: 17300 * √15478 ≅ 2152000 (přesnější výsledek spočtený na dnešní kalkulačce je 2152303.56, t.j. odchylka 0.014 %).

Mimo matematiku[editovat | editovat zdroj]

Logaritmy se objevují také v mnoha vědeckých oborech pro vyjádření závislosti na exponentu. Příkladem jsou jednotky decibel a neper, vyjadřování hvězdné velikosti či v chemii vyjadřování kyselosti roztoků pomocí pH.

Logaritmická stupnice[editovat | editovat zdroj]

Některé veličiny nabývají výrazného rozpětí hodnot, až několika řádů. Příkladem může být koncentrace kationtů H3O+ v roztoku:

roztok Kyselina octová Pivo Mléko Mořská voda Amoniak
koncentrace H3O+ 0,0013 0,00003 0,0000003 0,00000001 0,000000000003

Je zřejmé, že při zobrazení těchto hodnot na číselné ose bude pivo přibližně 43× blíže k nule než ocet (0,0013/0,00003), mléko bude 100× blíže k nule než pivo (0,00003/0,0000003) a ostatní hodnoty také budou „namačkány“ v těsné blízkosti nuly. Přestože například koncentrace H3O+ v mléku je stále 100000× (o pět dekadických řádů) vyšší než ve čpavku.

V takovém případě je výhodnější místo samotné koncentrace zobrazovat její logaritmus, tedy volně řečeno „řád koncentrace“. Tabulka po zlogaritmování bude vypadat následovně.

roztok Kyselina octová Pivo Mléko Mořská voda Amoniak
log(koncentrace H3O+) -2,9 -4,5 -6,5 -8 -11,5

Je vidět, že takto upravené hodnoty jsou celkem rozumně rozloženy mezi −11,5 a nulou. Na závěr dodejme, že pH je definováno přibližně takto, pouze logaritmus koncentrace je uváděn bez znaménka. (Koncentrace je vždy menší nebo rovna 1, proto logaritmus koncentrace bude vždy menší nebo roven 0.)

Speciální báze[editovat | editovat zdroj]

Desítkový logaritmus[editovat | editovat zdroj]

U logaritmu o základu 10 (nazývaného desítkový či dekadický logaritmus, příp. Briggsův podle Henryho Briggse) se ve značení vynechává základ a píše se jen prostě log x, někdy se používá také speciální značení lg x. Je třeba si však dát pozor: použité značení se může v různých odborných literaturách lišit. lg x se běžně využívá ve významu a ne .

Přirozený logaritmus[editovat | editovat zdroj]

Logaritmus o základu e () se označuje jako přirozený logaritmus (někdy také Napierův podle Johna Napiera) a značí se (logaritmus naturalis, latinsky přirozený logaritmus). Vznikl tak, že se hledal základ exponenciální funkce tak, aby tečnou této exponenciály v bodě A=(0,1) byla přímka . Odpovídající základ byl označen písmenem e a pojmenován Eulerovo číslo (podle Leonharda Eulera, který se podílel na objevu tohoto čísla).

Binární logaritmus[editovat | editovat zdroj]

Hlavně v informatice se objevuje logaritmus o základu dva (binární logaritmus), který je v příslušném kontextu někdy značen , případně .

Platí:

Např při binárním vyhledávání v setříděném seznamu, který má n položek, je potřeba maximálně kroků k nalezení hledané hodnoty. Tato technika je totiž založena na půlení intervalů.

Taylorova řada pro logaritmus[editovat | editovat zdroj]

Pomocí vztahu pro Taylorův rozvoj, případně zintegrováním geometrické řady

lze obdržet rozvoj logaritmu do řady kolem 1.

Tato řada má poloměr konvergence 1, řada přitom konverguje i pro krajní bod x=1, kde obdržíme známou řadu pro (harmonická řada s oscilujícími znaménky):

Řadu pro logaritmus můžeme vyjádřit i pro komplexní číslo x=iy. Pak z předchozího víme, že jednak platí:

Stejně tak můžeme tento výraz vyjádřit pomocí řady:

Porovnáním imaginárních částí získáváme řadu pro :

Speciálně dosazením y=1 dostaneme nejslavnější řadu pro Ludolfovo číslo:

Tato řada, i přes svou krásu, konverguje velmi pomalu.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]