Desítková soustava

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Desítková soustava či dekadická soustava je poziční číselná soustava se základem 10. Pro zápis čísla se používají číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Desítková soustava umožňuje přesný zápis libovolného celého čísla; záporná čísla jsou označena na začátku znakem "", "minus". S použitím desetinné značky (typicky desetinné čárky nebo desetinné tečky) lze v desítkové soustavě zapsat libovolné reálné číslo s jakoukoli konečnou přesností.

Použití[editovat | editovat zdroj]

Tato číselná soustava je dnes nejužívanější jak v občanském životě, tak ve vědě a technice. V dřívějších dobách se používaly i soustavy s jiným základem, např. dvacítková, šedesátková nebo dvanáctková. Se šedesátkovou soustavou, zavedenou Sumery, se nadále setkáváme při měření času a úhlů. Nově však nachází uplatnění některé jiné soustavy, např. dvojková, osmičková, dvanáctková a šestnáctková, které jsou používány ve výpočetní technice a v informatice.

Historie[editovat | editovat zdroj]

Desítková soustava se používá odedávna. Už i egyptská matematika byla založena na desítkové soustavě; egyptština měla k dispozici číslovky až do miliónu.[1] Tato soustava je pravděpodobně odvozena od počítání na deseti prstech rukou.[2][3][4]

Desítkový zápis čísla a výpočet jeho hodnoty[editovat | editovat zdroj]

  • Zápis nuly je .
  • Každé kladné celé číslo lze zapsat jako konečnou posloupnost tvořenou číslicemi , kde je celé číslo a pro každé celé , kde , je jedna z číslic 0 až 9. Pak platí

(1)    

Číslo zapsané posloupností má stejnou aritmetickou hodnotu jako číslo zapsané posloupností , apod.. Proto se zpravidla "vedoucí" nuly na začátku čísla nepíšou (tj. , ovšem kromě čísla "nula" samotného, ), až na zvláštní případy, kdy je např. přikázán formát zápisu čísla s daným počtem číslic.

  • Každé kladné necelé číslo lze zapsat jako posloupnost tvořenou

-- konečnou posloupností z číslic;
-- desetinnou značkou , což je buď čárka (užita na této stránce), nebo tečka. Podrobnosti viz heslo desetinná značka;
-- konečnou nebo nekonečnou posloupností z číslic.
Posloupnosti , jsou tvořeny analogicky, jak je uvedeno výše, a platí

(2)     ;

v druhé sumě může být i .

  • Posloupnost je nutno[5] vypsat, i když jde o nulu, např. . (Dříve se příležitostně v anglofonním světě při zápisu s desetinnou tečkou samotná nula před ní vynechávala.)
  • Záporné číslo zapisujeme znamínkem "minus", , následovaným bez mezery odpovídajícím číslem kladným.

Příklady: .
Tři tečky "" zde znamenají neúplný zápis čísla, v němž nejsou uvedeny další číslice.

Zvláštní případy[editovat | editovat zdroj]

  • Kladné číslo racionální , kde jsou čísla celá, má

-- buď zápis konečný, tj. v zápisu (2) výše je , a to právě tehdy, když je , kde jsou čísla celá,
-- anebo nekonečný, ale periodický ve tvaru , kde jsou konečné posloupnosti číslic analogické dřívější a pruh nad značí opakování celé posloupnosti číslic tvořících . Nazývají se [6] [7] předčíslí (předperioda) a občíslí (perioda) , zatímco je celá část čísla . Označíme-li hodnotu čísla a hodnotu celého čísla , pak platí
(3)     .
Příklady:
, ale také
apod.

  • Aritmetická hodnota čísla se nezmění připojením libovolného (i nekonečného) počtu nul za konečný zápis typu , tedy . Rozdíl však je v případě čísel zaokrouhlených, kde je podstatný počet platných číslic.
  • Protože , lze každý zápis s občíslím zapsat bez občíslí tak, že zvětšíme o 1 poslední číslici menší než 9, která stojí před posloupností tvořenou jen číslicí 9, a následující číslice 9 nahradíme 0, jde-li o celou část čísla, resp. vynecháme, jde-li o předčíslí. Pokud by zbylo předčíslí prázdné, vynecháme i desetinnou značku .

Příklady:


  • Analogická pravidla platí pro čísla záporná. Zpracujeme nejprve absolutní hodnotu čísla, pak připojíme znamínko.


Zápis a hodnota čísel zaokrouhlených[editovat | editovat zdroj]

Aritmetická hodnota čísel a je stejná, tedy . Pokud však jde o numerickou matematiku pracující se zaokrouhlenými čísly a o její aplikace v praxi (např. hodnota změřené fyzikální veličiny), je mezi čísly rozdíl, protože má 5 platných číslic, zatímco jen 3. Bezpečnější zápis v takových případech je a . Celé číslo uvedené za hodnotou v závorce (může mít i více míst) udává nejistotu či chybu čísel a jeho poslední číslice odpovídá poslední číslici předcházejícího čísla. Hodnotou čísla může tedy být libovolné z čísel ležících v intervalu . Podobně např. hodnotou čísla může být libovolné z čísel ležících v intervalu . Podrobnosti viz platné číslice.

Názvy velkých čísel[editovat | editovat zdroj]

Pojmenování velkých čísel není jednotné. Ve světě jsou používány dvě základní soustavy, což vede často k omylům při překladu do jiných jazyků, u nás zejména při překladu z angličtiny.

  1. Tzv. krátká soustava (z francouzského échelle courte), též American system[8], označuje slovem bilion číslo, které se rovná tisíci milionům (109) a další pojmenování následují vždy po tisícinásobku. Tedy trilion je tisíc bilionů (1012), kvadrilion je tisíc trilionů (1015) atd. Tato soustava nezná slovo miliarda. Krátká soustava je užívána ve Spojených státech a zhruba od sedmdesátých let 20. století také ve většině anglicky mluvících zemí (Velká Británie, Austrálie, Kanada s výjimkou frankofonních částí, Irsko atd.)
  2. V kontinentální Evropě, a tedy i v České republice je zpravidla užívána tzv. dlouhá soustava (échelle longue), v níž pro tisíc milionů (109) je užíván termín miliarda, bilion má význam milionu milionů (1012) a trilion je milion bilionů (1018). Pro tisíc bilionů (1015) je někdy užíváno slovo biliarda.

Kombinaci obou systémů užívají země bývalého Sovětského svazu a Turecko. Zde existuje termín miliarda ve smyslu dlouhé soustavy (109), ale pojmenování vyšších čísel se řídí soustavou krátkou.

Ve vědě a technice jsou používány předpony dle soustavy SI (kilo, Mega atd.) označující násobky základních jednotek fyzikálních a technických veličin. Předpony dle soustavy SI jsou používány jednotně v celém světě a nedochází u nich k omylům.

Princip, jakým jsou tvořena jména velkých čísel, udává následující tabulka (americké názvy pro N=109 až 1063, 10303, britský 10600 podle[8]):

Hodnota Název v krátké soustavě Název v dlouhé soustavě Předpona
10−24 septiliontina kvadriliontina yokto
10−21 sextiliontina triliardtina zepto
10−18 kvintiliontina triliontina atto
10−15 kvadriliontina biliardtina femto
10−12 triliontina biliontina piko
10−9 biliontina miliardtina nano
10−6 miliontina miliontina mikro
10−3 tisícina tisícina mili
10−2 setina setina centi
10−1 desetina desetina deci
100 jednotka jednotka -
101 deset deset deka
102 sto sto hekto
103 tisíc tisíc kilo
106 milion milion mega
109 billion[8] miliarda giga
1012 trillion[8] bilion tera
1015 quadrillion[8] biliarda peta
1018 quintillion[8] trilion exa
1021 sextillion[8] triliarda zetta
1024 septillion[8] kvadrilion yotta
1027 octillion[8] kvadriliarda -
1030 nonillion[8] kvintilion -
1033 decillion[8] kvintiliarda -
1036 undecillion[8] sextilion -
1039 duodecillion[8] sextiliarda -
1042 tredecillion[8] septilion -
1045 quattuordecillion[8] septiliarda -
1048 quindecillion[8] oktilion -
1051 sexdecillion[8] oktiliarda -
1054 septendecillion[8] nonilion -
1057 octodecillion[8] noniliarda -
1060 novemdecillion[8] decilion -
1063 vigintillion[8] deciliarda -
1066 unvigintilion undecilion -
1069 duovigintilion undeciliarda -
1072 tresvigintillion bidecilion -
1075 quattuorvigintillion bideciliarda -
1078 kvinvigintilion tridecilion -
1081 sesvigintilion trideciliarda -
1084 septemvigintilion kvadrodecilion -
1087 oktovigintilion kvadrodeciliarda -
1090 novemvigintilion kvintdecilion -
1093 trigintilion kvintdeciliarda -
1096 untrigintilion sexdecilion -
1099 duotrigintilion sexdeciliarda -
10100 googol googol
10303 centillion[8]
10600 centillion[8]

Srovnání číselných soustav[editovat | editovat zdroj]

Číslo v desítkové soustavě Dvojková soustava Trojková soustava Čtyřková soustava Pětková soustava Šestková soustava Sedmičková soustava Osmičková soustava Devítková soustava Dvanáctková soustava Šestnáctková soustava Dvacítková soustava Šestatřicítková soustava
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 11 10 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
4 100 11 10 4 4 4 4 4 4 4 4 4
5 101 12 11 10 5 5 5 5 5 5 5 5
6 110 20 12 11 10 6 6 6 6 6 6 6
7 111 21 13 12 11 10 7 7 7 7 7 7
8 1000 22 20 13 12 11 10 8 8 8 8 8
9 1001 100 21 14 13 12 11 10 9 9 9 9
10 1010 101 22 20 14 13 12 11 A A A A
100 1100 100 102 01 1 210 400 244 202 144 121 84 64 50 2S
1000 1111 1010 00 110 100 1 332 20 13 000 4 344 2 626 1 750 1 331 6B4 3E8 2A0 RS

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Český rozhlas 2, pořad Meteor, 23. října 2010
  2. http://www.prevod.cz/popis.php?str=564&parent=y
  3. http://praha.astro.cz/crp/0001a.phtml
  4. http://cygnus.speccy.cz/ostatni_historie.php
  5. ISO/IEC Directives, Part 2, 6.6.8.2: If the magnitude (absolute value) of a number less than 1 is written in decimal form, the decimal sign shall be preceded by a zero.
  6. TEYSSLER-KOTYŠKA. Technický slovník naučný, díl IX. Praha: Borský a Šulc, 1933. 1091 s. Kapitola Občíslí, s. 177. 
  7. http://ssjc.ujc.cas.cz/search.php?hledej=Hledat&heslo=ob%C4%8D%C3%ADsl%C3%AD&sti=EMPTY&where=hesla&hsubstr=no
  8. a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w Webster's Third New International Dictionary, unabridged. Bonnerstr. 126, D-50968, Köln: Könemann Verlagsgesellschaft, mbH, 1961. 2663 s. ISBN 3-8290-5292-8. S. 1549. 

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]