Umocňování

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Umocňování je matematická operace, která vyjadřuje opakované násobení. Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo násobení ke sčítání. Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení:

V tomto vzorci se z označuje jako základ mocniny (mocněnec) a n se nazývá exponent (mocnitel). Výsledek je „n-tá mocnina čísla z“, „z na n-tou“. Například 3 · 3 · 3 · 3 = 81 je „tři na čtvrtou“, což zapisujeme 34. Exponent může být obecně reálné, nebo dokonce komplexní číslo (viz #Definice).

Speciálním případem prázdného součinu je z0 = 1 (pro z ≠ 0, jinak viz #Nula na nultou). Pro nulový základ a kladný exponent (n > 0) pak platí 0n = 0.

Když z technických důvodů nelze psát exponent na horní pozici, používá se často zápis ve tvaru z^n, někdy také z**n.

Pomocí umocňování je definováno několik základních funkcí a posloupností: Mocninná funkce f(x) = a · xn, exponenciální funkce f(x) = zx, geometrická posloupnost an = zn a funkce f(x) = xx.

Inverzní operace k umocňování je odmocňování.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Mocnina s přirozeným exponentem () se tedy definuje jako opakované násobení, které lze zapsat rekurentně takto:

Rekurentní vzorec lze obrátit a tak při nenulovém základu () tuto definici použít i pro ostatní celé exponenty ():

Definici lze dále zobecnit pro racionální exponent s využitím odmocňování:

Zobecnění na celý obor reálných čísel (tzn. rozšíření definice o mocniny s iracionálními exponenty) se pak dosahuje dodefinováním pomocí limity:

Pro mocniny s komplexním základem , kde a pak platí (viz Moivrovu větu)

Argument má nutně skok, jehož polohu však lze zvolit. Volí se zpravidla z intervalu nebo . Komplexní mocnina s neceločíselným exponentem je tedy obecně mnohoznačná funkce a není na celé komplexní rovině holomorfní.

Pokud je navíc komplexním číslem i exponent , pak je mocnina dána jako

Alternativní definice[editovat | editovat zdroj]

Užitečná definice z oblasti teorie množin říká, že pro množiny je čili množina všech zobrazení množiny do množiny , tedy takových zobrazení, která každému prvku z přiřazují právě jeden prvek z . Jsou-li obě množiny konečné, pak počet takových zobrazení je , přičemž klademe 00 = 1 (viz #Nula na nultou). Příklad:

Mocninu s nezáporným celým základem i exponentem () lze také vyjádřit jako počet všech uspořádaných -tic, jejichž složky jsou ze -prvkové množiny. Toto vyjádření je velmi podobné předchozí definici, protože zobrazení -prvkové množiny lze zapsat jako uspořádanou -tici. Příklad:

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Pro reálná nebo komplexní čísla platí následující vztahy (jsou-li výrazy na obou stranách definované):

  • za podmínky, že je celé číslo nebo , tedy že se neprojeví skok argumentu
  • za podmínky, že je celé číslo nebo
  • za podmínky, že je celé číslo nebo
  • pro (pro 00 viz níže)

Umocňování není obecně komutativní (23 ≠ 32) ani asociativní: (22)3 ≠ 2(23).

Mocniny nuly[editovat | editovat zdroj]

Nula umocněná na kladné číslo je nula, tedy pro x > 0 je 0x = 0.

Naproti tomu nula umocněná na záporné číslo není definována, protože takový výraz vede na dělení nulou, které není na množině reálných ani komplexních čísel definováno:

Pro x > 0 je

Nula na nultou[editovat | editovat zdroj]

Zcela obecně není výraz 00 definován. Limita mocniny, jejíž základ i exponent konvergují k nule, je totiž tzv. neurčitý výraz a pro její vyčíslení je potřeba znát vztah mezi základem a exponentem. Na výraz 00 se tedy lze dívat dvěma základními způsoby. První pohled na něj hledí jako na limitu funkce x0, která je všude kromě nuly rovna jedné, takže je možno ji v nule dodefinovat stejně a klade se 00 = 1. Naopak druhý pohled vychází z funkce 0x, která je pro všechna kladná x nulová, takže se i v nule dodefinuje 00 = 0.

V běžných situacích se používá hlavně první definice (00 = 1),[1] která je vyžadována pro jednoduchý zápis mnoha vzorců:

  • Aby při zápisu polynomu ve tvaru platilo , musí být 00 = 1. Podobný zápis se používá také pro mocninnou řadu.
  • Obecná platnost binomické věty vyžaduje 00 = 1.[zdroj?]
  • Existuje právě jedno zobrazení prázdné množiny do prázdné množiny, a to prázdné zobrazení (viz #Alternativní definice).
  • Pravidlo pro derivování mocninné funkce platí pro n = 1 v bodě x = 0 jen tehdy, když 00 = 1.

Jindy je 00 ponecháno nedefinované,[2] zcela výjimečně je možno se setkat i s použitím druhé definice (00 = 0).[zdroj?]

Zvláštní mocniny[editovat | editovat zdroj]

V každodenním životě často používáme mocniny o základu deset (to jsou 1, 10, 100, 1000, …). Tyto mocniny tvoří základ naší desítkové číselné soustavy, také v soustavě SI jsou předpony násobků jednotek označením mocnin deseti – 1 kg = 10³ g apod.

Velmi časté je rovněž využití druhé mocniny (a2), tj. vynásobení čísla a sama sebou. Druhá mocnina je v běžné řeči někdy označována jako čtverec, protože obsah čtverce je roven druhé mocnině délky jeho hrany (S = a2).

Počítače při zpracování dat používají dvojkovou soustavu, založenou na mocninách čísla 2. Z toho důvodu se někdy v informatice používají násobky jednotek jako mocniny o základu 2 – 1 KiB = 210 B = 1024 B. (Viz též binární předpony.)

V matematice jsou zvlášť důležité mocniny o základu e ≅ 2,71828, takzvaného Eulerova čísla.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Všechny následující výpočetní prostředky poskytují výsledek 00 = 1: Vyhledávač Google, Kalkulačka ve Windows 7, funkce pow jazyka C++, metoda System.Math.Pow z MS .NET Framework.
  2. WolframAlpha

Související články[editovat | editovat zdroj]