Umocňování

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Umocňování je matematická operace, která vyjadřuje opakované násobení. Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo násobení ke sčítání. Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení:


 \underbrace{ z \cdot z \cdot z \cdots z }_{n \operatorname{-kr\acute{a}t}} =z^n

V tomto vzorci se z označuje jako základ mocniny (mocněnec) a n se nazývá exponent (mocnitel). Výsledek je „n-tá mocnina čísla z“, „z na n-tou“. Například 3 · 3 · 3 · 3 = 81 je „tři na čtvrtou“, což zapisujeme 34. Exponent může být obecně reálné, nebo dokonce komplexní číslo (viz #Definice).

Speciálním případem prázdného součinu je z0 = 1 (pro z ≠ 0, jinak viz #Nula na nultou). Pro nulový základ a kladný exponent (n > 0) pak platí 0n = 0.

Když z technických důvodů nelze psát exponent na horní pozici, používá se často zápis ve tvaru z^n, někdy také z**n.

Pomocí umocňování je definováno několik základních funkcí a posloupností: Mocninná funkce f(x) = a · xn, exponenciální funkce f(x) = zx, geometrická posloupnost an = zn a funkce f(x) = xx.

Inverzní operace k umocňování je odmocňování.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Mocnina s přirozeným exponentem (n \in \mathbb{N}) se tedy definuje jako opakované násobení, které lze zapsat rekurentně takto:

z^1=z
z^{n+1}=z^n \cdot z

Rekurentní vzorec lze obrátit a tak při nenulovém základu (z \ne 0) tuto definici použít i pro ostatní celé exponenty (n \in \mathbb{Z}):

z^n = {z^{n+1} \over z}
z^0 = {z \over z} = 1
z^{-n} = {1 \over z^n} = \left( {1 \over z} \right)^n

Definici lze dále zobecnit pro racionální exponent s využitím odmocňování:

z^{n \over m} = \sqrt[m]{z^n}

Zobecnění na celý obor reálných čísel (tzn. rozšíření definice o mocniny s iracionálními exponenty) se pak dosahuje dodefinováním pomocí limity:

z^n = \lim_{x \to n \atop x \in \mathbb{Q}} z^x

Pro mocniny s komplexním základem z = a + b i = r \cdot (\cos \varphi + i \sin \varphi) = r \cdot e^{i\varphi}, kde a, b, \varphi \in \mathbb{R} a r \in \mathbb{R}^+_0, pak platí (viz Moivrovu větu)


 z^n\equiv (a+bi)^n = (r \cdot e^{i\varphi})^n = r^n \cdot e^{i\; n\varphi} = r^n \cdot [\cos (n \varphi) + i \sin (n \varphi)].

Argument \varphi = \operatorname{Arg} z má nutně skok, jehož polohu však lze zvolit. Volí se zpravidla \varphi z intervalu \langle 0; 2\pi) nebo (-\pi; \pi \rangle. Komplexní mocnina s neceločíselným exponentem je tedy obecně mnohoznačná funkce a není na celé komplexní rovině holomorfní.

Pokud je navíc komplexním číslem i exponent n, pak je mocnina dána jako

z^n=e^{n \ln z}=e^{n(i\varphi + \ln r)}.

Alternativní definice[editovat | editovat zdroj]

Užitečná definice z oblasti teorie množin říká, že pro množiny A, B je A^B = \{f | f: B \rightarrow A \} čili množina všech zobrazení množiny B do množiny A, tedy takových zobrazení, která každému prvku z B přiřazují právě jeden prvek z A. Jsou-li obě množiny konečné, pak počet takových zobrazení je \left| A^B \right| = |A|^{|B|}, přičemž klademe 00 = 1 (viz #Nula na nultou). Příklad:

\{ 0, 1 \} ^ { \{ a, b \} } = \Big \{
    \{ a \mapsto 0; b \mapsto 0 \},
    \{ a \mapsto 0; b \mapsto 1 \},
    \{ a \mapsto 1; b \mapsto 0 \},
    \{ a \mapsto 1; b \mapsto 1 \}
  \Big \}
\left| \{ 0, 1 \} ^ { \{ a, b \} } \right| = | \{ 0, 1 \} | ^ {| \{ a, b \} |} = 2^2 = 4

Mocninu z^n s nezáporným celým základem i exponentem (z, n \in \mathbb{N}_0) lze také vyjádřit jako počet všech uspořádaných n-tic, jejichž složky jsou ze z-prvkové množiny. Toto vyjádření je velmi podobné předchozí definici, protože zobrazení n-prvkové množiny lze zapsat jako uspořádanou n-tici. Příklad:

2^3 = \left| \{0, 1\}^3 \right| = \left| \Big \{ (0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1) \Big \} \right| = 8

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Pro reálná nebo komplexní čísla a,b,x,y platí následující vztahy (jsou-li výrazy na obou stranách definované):

  • \left(ab\right)^x = a^x \cdot b^x za podmínky, že x je celé číslo nebo \operatorname{Arg} a + \operatorname{Arg} b \in (-\pi; \pi \rangle, tedy že se neprojeví skok argumentu
  • \left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x} za podmínky, že x je celé číslo nebo \operatorname{Arg} a - \operatorname{Arg} b \in (-\pi; \pi \rangle
  • a^x \cdot a^y = a^{x+y}
  • a^{-x} = \frac{1}{a^x},\quad a\neq 0
  • \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y},\quad a\neq 0
  • \left(a^x\right)^y = a^{x \cdot y} za podmínky, že y je celé číslo nebo \operatorname{Im}(x \ln a) \in (-\pi; \pi \rangle
  • a^0 = 1 pro a \ne 0 (pro 00 viz níže)

Umocňování není obecně komutativní (23 ≠ 32) ani asociativní: (22)3 ≠ 2(23).

Mocniny nuly[editovat | editovat zdroj]

Nula umocněná na kladné číslo je nula, tedy pro x > 0 je 0x = 0.

Naproti tomu nula umocněná na záporné číslo není definována, protože takový výraz vede na dělení nulou, které není na množině reálných ani komplexních čísel definováno:

Pro x > 0 je 0^{-x} = {1 \over 0^x} = {1 \over 0}.

Nula na nultou[editovat | editovat zdroj]

Zcela obecně není výraz 00 definován. Limita mocniny, jejíž základ i exponent konvergují k nule, je totiž tzv. neurčitý výraz a pro její vyčíslení je potřeba znát vztah mezi základem a exponentem. Na výraz 00 se tedy lze dívat dvěma základními způsoby. První pohled na něj hledí jako na limitu funkce x0, která je všude kromě nuly rovna jedné, takže je možno ji v nule dodefinovat stejně a klade se 00 = 1. Naopak druhý pohled vychází z funkce 0x, která je pro všechna kladná x nulová, takže se i v nule dodefinuje 00 = 0.

V běžných situacích se používá hlavně první definice (00 = 1),[1] která je vyžadována pro jednoduchý zápis mnoha vzorců:

Jindy je 00 ponecháno nedefinované,[2] zcela výjimečně je možno se setkat i s použitím druhé definice (00 = 0).[zdroj?]

Zvláštní mocniny[editovat | editovat zdroj]

V každodenním životě často používáme mocniny o základu deset (to jsou 1, 10, 100, 1000, …). Tyto mocniny tvoří základ naší desítkové číselné soustavy, také v soustavě SI jsou předpony násobků jednotek označením mocnin deseti – 1 kg = 10³ g apod.

Velmi časté je rovněž využití druhé mocniny (a2), tj. vynásobení čísla a sama sebou. Druhá mocnina je v běžné řeči někdy označována jako čtverec, protože obsah čtverce je roven druhé mocnině délky jeho hrany (S = a2).

Počítače při zpracování dat používají dvojkovou soustavu, založenou na mocninách čísla 2. Z toho důvodu se někdy v informatice používají násobky jednotek jako mocniny o základu 2 – 1 KiB = 210 B = 1024 B. (Viz též binární předpony.)

V matematice jsou zvlášť důležité mocniny o základu e ≅ 2,71828, takzvaného Eulerova čísla.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Všechny následující výpočetní prostředky poskytují výsledek 00 = 1: Vyhledávač Google, Kalkulačka ve Windows 7, funkce pow jazyka C++, metoda System.Math.Pow z MS .NET Framework.
  2. WolframAlpha

Související články[editovat | editovat zdroj]