Binomická věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Ilustrace binomické věty pro n=2

Binomická věta je důležitá matematická věta, díky které můžeme n-tou mocninu dvou sčítanců rozložit na součet n+1 sčítanců. Věta vychází z kombinatoriky, dnes se používá například k dokazování ve fyzice. Nejjednodušší verze vypadá takto:

Pokud je n přirozené číslo, tak následující kombinační čísla:

jsou takzvané binomické koeficienty Pascalova trojúhelníku. Číslo n! je faktoriál čísla n.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Ilustrace binomické věty pro n=3

Příklady binomické věty pro n = 2, n = 3 a n = 4:

Na některých středních(základních) školách se zpaměti učí tyto příklady binomické věty jako předem dané „vzorečky“ pro výpočet mnohočlenů.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Použijeme matematickou indukci. Když n = 0, rovnost platí:

Pro indukční krok budeme předpokládat, že věta platí pro exponent m. Pak pro :

z indukčního předpokladu:
násobení přes a :
vyjmutí ze sumy:
substituce :
vyjmutí ze sumy:
složení dvou sum:
z Pascalova pravidla:
přidání mocnin do výrazu:
.
Q.E.D.

Zobecnění binomické věty[editovat | editovat zdroj]

Binomickou větu lze zobecnit i na případ, kdy není závorka umocňována na přirozené číslo. I v tomto případě můžeme psát:

Kde jsou obecně komplexní čísla. Případně s rozepsáním definice kombinačního čísla:

Tyto mocninné řady konvergují obecně jen pokud je .

Speciálně pro a dostáváme součet geometrické řady:

Případně pokud je a , pak obdržíme tuto řadu:

Která po integraci přejde na řadu pro :

Speciálně např. když dosadíme , dostaneme docela dobře konvergující řadu pro . Pomocí této řady bylo v historii v ruce vypočteno Ludolfovo číslo asi na sto míst.

Obdobně, pokud bychom položili a , dostali bychom integrací této řady řadu pro , která taktéž umožňuje vypočítat číslo .

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]