Binomické rozdělení

Tři příklady binomického rozdělení.

Distribuční funkce odpovídající příkladům nahoře.

Binomické rozdělení (někdy též Bernoulliho schéma) popisuje četnost výskytu náhodného jevu v $n$ nezávislých pokusech, v nichž má jev stále stejnou pravděpodobnost. Pokud speciálně $n=1$, jde o alternativní rozdělení.

V matematických textech se můžeme setkat s označením $X$ ~ $Bi(n,p)$ (někde také jako $B(n,p)$), kde $n$ udává počet pokusů a $p$ udává pravděpodobnost daného jevu.

Rozdělení pravděpodobnosti

Diskrétní náhodná veličina $X$ s binomickým rozdělením může nabývat celočíselných hodnot od nuly po $n$.

Pravděpodobnost, že jev nastane právě $x$-krát z $n$ pokusů při pravděpodobnosti jevu $p$, je určena rozdělením

$P[X=x]={n \choose x}p^{x}(1-p)^{n-x}$

Charakteristiky rozdělení

Binomické rozdělení lze také popsat některými charakteristikami.

Střední hodnota binomického rozdělení je

$\operatorname {E} (X)=np$

Rozptyl je

$\operatorname {D} (X)=np(1-p)$

Pro koeficient šikmosti dostáváme

$\gamma _{1}={\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}$

Koeficient špičatosti binomického rozdělení má hodnotu

$\gamma _{2}={\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}$

Momentovou vytvořující funkci lze zapsat ve tvaru

$m(z)={\left[p\mathrm {e} ^{z}+(1-p)\right]}^{n}$

Příklady

• Jaká je pravděpodobnost, že při 5 vrzích kostkou padne právě 2× číslo 1?

$n=5,\,x=2,\,p=1/6$

$p_{2}={5 \choose 2}\left({\frac {1}{6}}\right)^{2}\left(1-{\frac {1}{6}}\right)^{(5-2)}\approx 0,16=16\%$

• Pro $n\to \infty$ a malé pravděpodobnosti, tzn. $p\to 0$, přechází binomické rozdělení v rozdělení Poissonovo.
• Pro $p$ blízké ${\frac {1}{2}}$ lze binomické rozdělení již od $n$ v řádu několika desítek velmi dobře aproximovat normálním rozdělením.
• Platí dokonce, že Binomické rozdělení $Bi(n,p)$ lze aproximovat normálním rozdělením $N(\mu =np,\sigma ^{2}=np(1-p))$ pro dostatečně velká $n$. Důkaz viz odkazy.

Související články

• Poissonovo rozdělení
• Multinomické rozdělení
• Binomická věta – Podobný vzorec, ale pro n-tou mocninu dvou sčítanců.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu binomické rozdělení ve Wikimedia Commons
• Online kalkulátor Binomického rozdělení
• Důkaz konvergence binomického rozdělení k Normálnímu na stránkách wolframu