Binomické rozdělení

Tři příklady binomického rozdělení.

Distribuční funkce odpovídající příkladům nahoře.

Binomické rozdělení (někdy též Bernoulliho schéma) popisuje četnost výskytu náhodného jevu v $n$$n$ nezávislých pokusech, v nichž má jev stále stejnou pravděpodobnost. Pokud speciálně $n=1$$n=1$, jde o alternativní rozdělení.

V matematických textech se můžeme setkat s označením $X$$X$ ~ $Bi(n,p)$$Bi(n,p)$ (někde také jako $B(n,p)$$B(n,p)$), kde $n$$n$ udává počet pokusů a $p$$p$ udává pravděpodobnost daného jevu.

Rozdělení pravděpodobnosti

Diskrétní náhodná veličina $X$$X$ s binomickým rozdělením může nabývat celočíselných hodnot od nuly po $n$$n$.

Pravděpodobnost, že jev nastane právě $x$$x$-krát z $n$$n$ pokusů při pravděpodobnosti jevu $p$$p$, je určena rozdělením

$P[X=x]={n \choose x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$P[X=x]={n \choose x}p^{x}(1-p)^{{n-x}}$

Charakteristiky rozdělení

Binomické rozdělení lze také popsat některými charakteristikami.

Střední hodnota binomického rozdělení je

$\operatorname {E} (X)=np$$\operatorname {E}(X)=np$

Rozptyl je

$\operatorname {D} (X)=np(1-p)$$\operatorname {D}(X)=np(1-p)$

Pro koeficient šikmosti dostáváme

$\gamma _{1}={\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}$$\gamma _{1}={\frac {1-2p}{{\sqrt {np(1-p)}}}}$

Koeficient špičatosti binomického rozdělení má hodnotu

$\gamma _{2}={\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}$$\gamma _{2}={\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}$

Momentovou vytvořující funkci lze zapsat ve tvaru

$m(z)={\left[p\mathrm {e} ^{z}+(1-p)\right]}^{n}$$m(z)={\left[p{\mathrm {e}}^{z}+(1-p)\right]}^{n}$

Příklady

• Jaká je pravděpodobnost, že při 5 vrzích kostkou padne právě 2× číslo 1?

$n=5,\,x=2,\,p=1/6$$n=5,\,x=2,\,p=1/6$

$p_{2}={5 \choose 2}\left({\frac {1}{6}}\right)^{2}\left(1-{\frac {1}{6}}\right)^{(5-2)}\approx 0,16=16\%$$p_{2}={5 \choose 2}\left({\frac {1}{6}}\right)^{2}\left(1-{\frac {1}{6}}\right)^{{(5-2)}}\approx 0,16=16\%$

• Pro $n\to \infty$$n\to \infty$ a malé pravděpodobnosti, tzn. $p\to 0$$p\to 0$, přechází binomické rozdělení v rozdělení Poissonovo.
• Pro $p$$p$ blízké ${\frac {1}{2}}$${\frac {1}{2}}$ lze binomické rozdělení již od $n$$n$ v řádu několika desítek velmi dobře aproximovat normálním rozdělením.
• Platí dokonce, že Binomické rozdělení $Bi(n,p)$$Bi(n,p)$ lze aproximovat normálním rozdělením $N(\mu =np,\sigma ^{2}=np(1-p))$$N(\mu =np,\sigma ^{{2}}=np(1-p))$ pro dostatečně velká $n$$n$. Důkaz viz odkazy.

Související články

• Poissonovo rozdělení
• Multinomické rozdělení
• Binomická věta – Podobný vzorec, ale pro n-tou mocninu dvou sčítanců.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu binomické rozdělení ve Wikimedia Commons
• Online kalkulátor Binomického rozdělení
• Důkaz konvergence binomického rozdělení k Normálnímu na stránkách wolframu