Normální rozdělení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Hustota normálního rozdělení pravděpodobnosti

Normální (nebo Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti je jedno z nejdůležitějších rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny. Slovo „normální“ zde není použito v obvyklém smyslu „obyčejné, běžné“. Jeho použití se vztahuje k staršímu významu „řídící se zákonem, předpisem nebo modelem“.

Tímto rozdělením pravděpodobnosti se sice přesně řídí jen málo náhodných veličin, ale jeho význam spočívá v tom, že za určitých podmínek dobře aproximuje řadu jiných pravděpodobnostních rozdělení (spojitých i diskrétních).[1]

V souvislosti s normálním rozdělením jsou často zmiňovány náhodné chyby, např. chyby měření, způsobené velkým počtem neznámých a vzájemně nezávislých příčin. Proto bývá normální rozdělení také označováno jako zákon chyb. Podle tohoto zákona se také řídí rozdělení některých fyzikálních a technických veličin.[1]

Rozdělení pravděpodobnosti[editovat | editovat zdroj]

Normální rozdělení pravděpodobnosti s parametry a , pro a , je pro definováno hustotou pravděpodobnosti ve tvaru Gaussovy funkce

.

Normální rozdělení se většinou značí . Rozdělení bývá označováno jako normované (nebo standardizované) normální rozdělení. Normované normální rozdělení má tedy hustotu pravděpodobnosti

.

Charakteristiky rozdělení[editovat | editovat zdroj]

Grafy hustot normálního rozdělení s různými charakteristikami…
…a grafy odpovídajících distribučních funkcí.

Střední hodnota normálního rozdělení je

Normální rozdělení má rozptyl

Pro medián dostaneme

Koeficient šikmosti i koeficient špičatosti normálního rozdělení jsou nulové, tj.

Momentovou vytvořující funkci normálního rozdělení lze zapsat ve tvaru


Pro přirozená čísla lze centrální momenty psát jako

Distribuční funkce[editovat | editovat zdroj]

Distribuční funkcí normálního rozdělení je

.

Distribuční funkci normálního rozdělení nelze vyjádřit elementárními funkcemi. Její hodnoty lze stanovit numericky (viz numerická integrace) nebo po transformaci na rozdělení s a hodnotu odečíst z tabulek (viz například [1]).

Vícerozměrné rozdělení[editovat | editovat zdroj]

Máme-li -rozměrný náhodný vektor , jehož sdružená hustota pravděpodobnosti má tvar

pro , , kde je symetrická, pozitivně definitní matice a a jsou sloupcové vektory. V takovém případě hovoříme o -rozměrném normálním rozdělení, které představuje zobecnění normálního rozdělení pro vícerozměrnou náhodnou veličinu.

Charakteristiky vícerozměrného rozdělení[editovat | editovat zdroj]

Momentovou vytvořující funkci lze vyjádřit jako

.

Z předchozího vztahu lze odvodit, že představuje vektor středních hodnot a kovarianční matici.

Marginální rozdělení[editovat | editovat zdroj]

Marginálním rozdělením veličiny je jednorozměrné normální rozdělení , marginálním rozdělením veličin pro je dvourozměrné normální rozdělení, atd.

Generování vícerozměrného rozdělení z jednorozměrného rozdělení[editovat | editovat zdroj]

Vektor X náhodných hodnot podle vícerozměrného normálního rozdělení můžeme generovat podle vztahu

.

Výpočet na počítači[editovat | editovat zdroj]

Různé matematické programy obvykle umožňují výpočet hustoty pravděpodobnosti i distribuční funkce. V následujícím textu jsou uvedeny dva často používané programy: tabulkový kalkulátor Microsoft Excel a matematický software Matlab (respektive open-source klon GNU Octave).

Excel Matlab
Hustota pravděpodobnosti = NORMDIST(x; ; ; NEPRAVDA) [2] normpdf(x, , ) [3]
Distribuční funkce = NORMDIST(x; ; ; PRAVDA) [4] normcdf(x, , ) [5]
Inverzní distribuční funkce = NORMINV(x; ; )
[6]
norminv(x, , )
[7]

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. a b P. Hebák – J. Kahounová: Počet pravděpodobnosti v příkladech, 3. vydání, SNTL 1988, s. 176

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]