Normální rozdělení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Hustota normálního rozdělení pravděpodobnosti

Normální rozdělení neboli Gaussovo rozdělení (podle Carla Friedricha Gausse) je jedno z nejdůležitějších rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny. (Slovo „normální“ zde není použito v nejběžnějším smyslu „obyčejné, běžné“, ale znamená „řídící se zákonem, předpisem nebo modelem“.) Jeho důležitost ukazuje centrální limitní věta (CLV), jež zhruba řečeno tvrdí, že součet či aritmetický průměr velkého počtu libovolných vzájemně nezávislých a nepříliš „divokých“ náhodných veličin se vždy podobá normálně rozdělené náhodné veličině. Normální rozdělení proto za určitých podmínek dobře aproximuje řadu jiných pravděpodobnostních rozdělení (spojitých i diskrétních),[1] i když v praxi málokteré rozdělení je přesně normální.[2]

Náhodné chyby, např. chyby měření, způsobené velkým počtem malých, neznámých a vzájemně nezávislých příčin, jsou v důsledku CLV rovněž rozděleny přibližně normálně. Proto bývá normální rozdělení také označováno jako zákon chyb. Podle tohoto zákona se také teoreticky řídí rozdělení některých fyzikálních a technických veličin.[1]

Rozdělení pravděpodobnosti[editovat | editovat zdroj]

Normální rozdělení pravděpodobnosti s parametry a , pro a , je pro definováno hustotou pravděpodobnosti ve tvaru Gaussovy funkce

.

Normální rozdělení se většinou značí . Rozdělení bývá označováno jako normované (nebo standardizované) normální rozdělení. Normované normální rozdělení má tedy hustotu pravděpodobnosti

.

Charakteristiky rozdělení[editovat | editovat zdroj]

Grafy hustot normálního rozdělení s různými charakteristikami…
…a grafy odpovídajících distribučních funkcí.

Střední hodnota normálního rozdělení je

Normální rozdělení má rozptyl

Pro medián dostaneme

Koeficient šikmosti i koeficient špičatosti normálního rozdělení jsou nulové, tj.

Momentovou vytvořující funkci normálního rozdělení lze zapsat ve tvaru


Pro přirozená čísla lze centrální momenty psát jako

Distribuční funkce[editovat | editovat zdroj]

Distribuční funkcí normálního rozdělení je

.

Distribuční funkci normálního rozdělení nelze vyjádřit elementárními funkcemi. Její hodnoty lze stanovit numericky (viz numerická integrace) nebo po transformaci na rozdělení s a hodnotu odečíst z tabulek (viz například [1]).

Vícerozměrné rozdělení[editovat | editovat zdroj]

Máme-li -rozměrný náhodný vektor , jehož sdružená hustota pravděpodobnosti má tvar

pro , , kde je symetrická, pozitivně definitní matice a a jsou sloupcové vektory. V takovém případě hovoříme o -rozměrném normálním rozdělení, které představuje zobecnění normálního rozdělení pro vícerozměrnou náhodnou veličinu.

Charakteristiky vícerozměrného rozdělení[editovat | editovat zdroj]

Momentovou vytvořující funkci lze vyjádřit jako

.

Z předchozího vztahu lze odvodit, že představuje vektor středních hodnot a kovarianční matici.

Marginální rozdělení[editovat | editovat zdroj]

Marginálním rozdělením veličiny je jednorozměrné normální rozdělení , marginálním rozdělením veličin pro je dvourozměrné normální rozdělení, atd.

Generování vícerozměrného rozdělení z jednorozměrného rozdělení[editovat | editovat zdroj]

Vektor X náhodných hodnot podle vícerozměrného normálního rozdělení můžeme generovat podle vztahu

.

Výpočet na počítači[editovat | editovat zdroj]

Různé matematické programy obvykle umožňují výpočet hustoty pravděpodobnosti i distribuční funkce. V následujícím textu jsou uvedeny dva často používané programy: tabulkový kalkulátor Microsoft Excel a matematický software Matlab (respektive open-source klon GNU Octave).

Excel Matlab
Hustota pravděpodobnosti = NORMDIST(x; ; ; NEPRAVDA) [2] normpdf(x, , ) [3]
Distribuční funkce = NORMDIST(x; ; ; PRAVDA) [4] normcdf(x, , ) [5]
Inverzní distribuční funkce = NORMINV(x; ; )
[6]
norminv(x, , )
[7]

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. a b P. Hebák – J. Kahounová: Počet pravděpodobnosti v příkladech, 3. vydání, SNTL 1988, s. 176
  2. http://rsos.royalsocietypublishing.org/content/4/1/160600 - David C. Bailey: Not Normal: the uncertainties of scientific measurements

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]