Normální rozdělení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Hustota normálního rozdělení pravděpodobnosti.

Normální (nebo Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti je jedno z nejdůležitějších rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny. Slovo „normální“ zde není použito v obvyklém smyslu „obyčejné, běžné“. Jeho použití se vztahuje k staršímu významu „řídící se zákonem, předpisem nebo modelem“.

Tímto rozdělením pravděpodobnosti se sice neřídí velké množství veličin, ale jeho význam spočívá v tom, že za určitých podmínek dobře aproximuje řadu jiných pravděpodobnostních rozdělení (spojitých i diskrétních).

V souvislosti s normálním rozdělením jsou často zmiňovány náhodné chyby, např. chyby měření, způsobené velkým počtem neznámých a vzájemně nezávislých příčin. Proto bývá normální rozdělení také označováno jako zákon chyb. Podle tohoto zákona se také řídí rozdělení některých fyzikálních a technických veličin.

Rozdělení pravděpodobnosti[editovat | editovat zdroj]

Normální rozdělení pravděpodobnosti s parametry \mu a \sigma^2, pro -\infty<\mu<\infty a \sigma^2>0, je pro -\infty<x<\infty definováno hustotou pravděpodobnosti ve tvaru Gaussovy funkce

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}}.

Normální rozdělení se většinou značí \operatorname{N}(\mu,\sigma^2). Rozdělení \operatorname{N}(0,1) bývá označováno jako normované (nebo standardizované) normální rozdělení. Normované normální rozdělení má tedy hustotu pravděpodobnosti

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}.

Charakteristiky rozdělení[editovat | editovat zdroj]

Grafy hustot normálního rozdělení s různými charakteristikami…
…a grafy odpovídajících distribučních funkcí.

Střední hodnota normálního rozdělení je

\operatorname{E}(X) = \mu

Normální rozdělení má rozptyl

\operatorname{D}(X) = \sigma^2

Pro medián dostaneme

x_{0,5} = \mu

Koeficient šikmosti i koeficient špičatosti normálního rozdělení jsou nulové, tj.

\gamma_1=0
\gamma_2=0

Momentovou vytvořující funkci normálního rozdělení lze zapsat ve tvaru

m(z) = \mathrm{e}^{z\mu + \frac{z^2 \sigma^2}{2}}


Pro přirozená čísla k lze centrální momenty psát jako

\mu_{2k-1}=0
\mu_{2k} = \frac{(2k)!}{k!2^k} \sigma^{2k}

Distribuční funkce[editovat | editovat zdroj]

Distribuční funkcí normálního rozdělení je

F(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}} \;\mathrm{d}x.

Distribuční funkci normálního rozdělení nelze vyjádřit elementárními funkcemi. Její hodnoty lze stanovit numericky (viz numerická integrace) nebo po transformaci \frac{x-\mu}{\sigma} na rozdělení s \mu=0 a \sigma=1 hodnotu odečíst z tabulek (viz například [1]).

Vícerozměrné rozdělení[editovat | editovat zdroj]

Máme-li s-rozměrný náhodný vektor X, jehož sdružená hustota pravděpodobnosti má tvar

f(x_1,x_2,...,x_s) = \frac{1}{\sqrt{{(2\pi)}^s {\left|\mathbf{C}\right|}}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\mathbf{x}-\mathbf{\mu}\right)}^T \mathbf{C}^{-1} {\left(\mathbf{x}-\mathbf{\mu}\right)}}

pro -\infty<x_i<\infty, i=1,2,...,s, kde \mathbf{C} je symetrická, pozitivně definitní matice a \mathbf{x} = {(x_1,x_2,...,x_s)}^T a \mathbf{\mu} = {(\mu_1,\mu_2,...,\mu_s)}^T jsou sloupcové vektory. V takovém případě hovoříme o s-rozměrném normálním rozdělení, které představuje zobecnění normálního rozdělení pro vícerozměrnou náhodnou veličinu.

Charakteristiky vícerozměrného rozdělení[editovat | editovat zdroj]

Momentovou vytvořující funkci lze vyjádřit jako

m(z_1,z_2,...,z_s) = \mathrm{e}^{\left(\mathbf{z}^T\mathbf{\mu}+ \frac{\mathbf{z}^T \mathbf{C}\mathbf{z}}{2}\right)}.

Z předchozího vztahu lze odvodit, že \mathbf{\mu} představuje vektor středních hodnot a \mathbf{C} kovarianční matici.

Marginální rozdělení[editovat | editovat zdroj]

Marginálním rozdělením veličiny X_i je jednorozměrné normální rozdělení \operatorname{N}(\mu_i,\sigma_i^2), marginálním rozdělením veličin X_i, X_j pro i\neq j je dvourozměrné normální rozdělení, atd.

Generování vícerozměrného rozdělení z jednorozměrného rozdělení[editovat | editovat zdroj]

Vektor X náhodných hodnot podle vícerozměrného normálního rozdělení můžeme generovat podle vztahu

\bold X = \bold L \bold Z + \bold{\mu}.

Výpočet na počítači[editovat | editovat zdroj]

Různé matematické programy obvykle umožňují výpočet hustoty pravděpodobnosti i distribuční funkce. V následujícím textu jsou uvedeny dva často používané programy: tabulkový kalkulátor Microsoft Excel a matematický software Matlab (respektive open-source klon GNU Octave).

Excel Matlab
Hustota pravděpodobnosti f(x) = NORMDIST(x; \mu; \sigma; NEPRAVDA) [2] normpdf(x, \mu, \sigma) [3]
Distribuční funkce F(x) = NORMDIST(x; \mu; \sigma; PRAVDA) [4] normcdf(x, \mu, \sigma) [5]
Inverzní distribuční funkce F^{-1}(x) = NORMINV(x; \mu; \sigma)
0 < x < 1 [6]
norminv(x, \mu, \sigma)
0 \le x \le 1 [7]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]