Koeficient šikmosti

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Koeficient šikmosti je charakteristika rozdělení náhodné veličiny, která popisuje jeho nesymetrii. Označuje se symbolem \gamma_1.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Koeficient šikmosti je definován jako

\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3} = \frac{\operatorname{E}[X-\operatorname{E}(X)]^3}{(\operatorname{var}\,X)^{3/2}},

kde \mu_3 je třetí centrální moment, \sigma je směrodatná odchylka, \operatorname{E}(X) je střední hodnota a \operatorname{var}\,X je rozptyl.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Nulová šikmost značí, že hodnoty náhodné veličiny jsou rovnoměrně rozděleny vlevo a vpravo od střední hodnoty. Kladná šikmost značí, že vpravo od průměru se vyskytují odlehlejší hodnoty nežli vlevo (rozdělení má tzv. pravý ocas) a většina hodnot se nachází blízko vlevo od průměru. U záporné šikmosti je tomu naopak.

Symetrická rozdělení včetně normálního rozdělení mají šikmost nula.

Pro rozdělení s kladnou šikmostí obvykle platí, že jeho modus je menší nežli medián a ten je menší nežli střední hodnota. Pro zápornou šikmost opět naopak.

Výběrový koeficient šikmosti[editovat | editovat zdroj]

Výběrový koeficient šikmosti je definován vzorcem

g_1 = \frac{m_3}{m_2^{3/2}} = \sqrt{n}\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^3}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \right)^{\frac{3}{2}}},

kde \overline{x} je výběrový průměr, m_2 je výběrový rozptyl a m_3 je třetí výběrový centrální moment.

Tento odhad je vychýlený. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:[1]


\begin{align}
G_1 = \frac{M_3}{M_2^{3/2}} &= \frac{\sqrt{n(n-1)}}{n-2}g_1 \\
b_1 = \frac{m_3}{M_2^{3/2}} &= \left(\frac{n-1}{n}\right)^{2/3}g_1
\end{align}

Pro rozptyly těchto odhadů platí \operatorname{var}\,b_1 < \operatorname{var}\,g_1 < \operatorname{var}\,G_1.

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Skewness na anglické Wikipedii.

  1. Estimating and Comparing Kurtosis and Skewness from and Arbitrary Population [online]. Michigan SAS Users Group, [cit. 2011-07-18]. Dostupné online. (anglicky)