Elementární funkce

Jako elementární funkce je označována funkce, kterou lze získat konečným počtem sečtení, odečtení, násobení, dělení a složení základních elementárních funkcí, jedná se tedy o algebraické funkce a nižší transcendentní funkce, jako logaritmické, exponenciální, mocninné, goniometrické, cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrické funkce. Funkce, které nelze vyjádřit prostřednictvím konečného počtu elementárních funkcí, se označují jako vyšší transcendentní funkce.

Základní elementární funkce

Definice logaritmu a exponenciály

Exponenciální a logaritmická funkce při základu $2$

Funkci přirozeného logaritmu ${\displaystyle \ln$ lze zavést axiomaticky:

definiční obor funkce je otevřený interval $(0,+\infty )$
pro každé dva prvky $x$ a $y$ definičního oboru platí: $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$
pro každé dva prvky $x>y$ definičního oboru platí: $\ln(x)>\ln(y)$
pro prvky $x$ definičního oboru platí: $\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {\ln(x)}{x-1}}=1$

Výše uvedené čtyři axiomy splňuje právě jedna funkce, tj. funkce přirozený logaritmus. Exponenciální funkci $e^{x}$ pak můžeme definovat jako inverzi přirozeného logaritmu $\ln x$ a její pomocí definovat obecnou mocninnou funkci:

$g(x)^{f(x)}=e^{f(x)\ln g(x)}$ kde funkce $g$ je na svém definičním oboru kladná. Je-li funkce $f$ resp. $g$ konstantní resp. identická funkce, dostáváme mocninnou funkci s reálným exponentem $x^{a}$ , je-li funkce $f$ resp. $g$ identická resp. konstantní funkce, dostáváme exponenciální funkci při reálném základu $a^{x}$ . Pomocí funkce $e^{x}$ lze zavést funkce hyperbolické a jejich inverzí funkce hyperbolometrické.

Definice sinu

Funkci sinu ${\displaystyle \sin$ lze zavést axiomaticky:

definiční obor funkce je reálná osa $\mathbb {R}$
$\sin(0)=0$
pro každé dva prvky $x$ a $y$ definičního oboru platí: $\sin(x+y)+\sin(x-y)=2\sin(x)\sin({\frac {\pi }{2}}-y)$
pro každé dva prvky $x>y$ z uzavřeného intervalu $\langle 0,{\frac {\pi }{2}}\rangle$ platí: $\sin(x)>\sin(y)$
pro prvky $x$ definičního oboru platí: $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$

Výše uvedených pět axiomů splňuje právě jedna funkce, tj. funkce sinus, jejíž pomocí lze zavést funkce goniometrické a jejich inverzí funkce cyklometrické.