Symetrická matice

Schematické naznačení symetrie v čtvercové matici stupně pět

Symetrická matice je v rámci lineární algebry každá taková čtvercová matice, která je osově souměrná podle své hlavní diagonály. Jinak řečeno se jedná o takovou čtvercovou matici, která je rovna matici k ní transponované, tedy $M=M^{\top }$.

Formální definice

Čtvercová matice $M=(a_{ij})\in T^{n\times n}$, tedy stupně $n$ nad tělesem $T$, se nazývá symetrická, pokud pro všechna $i,j=1,\ldots ,n$ platí:

$a_{ij}=a_{ji}$.

Příklady

Symetrickými maticemi nad reálnými čísly jsou například:

${\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&5\\5&7\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&3&0\\3&2&6\\0&6&5\end{pmatrix}}$.

Obecně mají symetrické matice o rozměrech $2\times 2$, $3\times 3$ a $4\times 4$ následující podobu:

${\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&e&f&g\\c&f&h&i\\d&g&i&j\end{pmatrix}}$.

Speciální případy

Některé symetrické matice se zvláštními vlastnostmi mají vlastní název:

• čtvercová nulová matice obsahuje jen nulové prvky
• čtvercová jedničková matice obsahuje jen jednotkové prvky
• diagonální matice jsou takové matice, které mají mimo diagonálu jen nulové prvky
• Hankelova matice je matice, která je konstantní v rámci diagonál vedoucích seshora zprava doleva dolů
• bisymetrická matice je matice osově symetrická podle hlavní diagonály i vedlejší diagonály

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Symmetrische Matrix na německé Wikipedii.