Kroneckerovo delta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Kroneckerovo delta je matematická funkce dvou proměnných, obvykle celých čísel. Je pojmenovaná po Leopoldu Kroneckerovi (1823-1891). Tato funkce se rovná 1, když se proměnné rovnají, a 0 v ostatních případech. Tak například , ale . Zapisuje se symbolem pomocí řeckého písmene delta: δij, a je pokládáno spíše za zkrácený zápis než za funkci.

nebo, při použití Iversonových závorek:

Vlastnosti delta funkce[editovat | editovat zdroj]

Kroneckerovo delta má tzv. sítové vlastnosti, totiž pro :

Tato vlastnost se podobá jedné z hlavních vlastností Diracovy delta funkce:

a ve skutečnosti byla Diracova delta funkce pojmenována podle Kroneckerova delta, protože má analogické vlastnosti. Kroneckerovo delta se používá v mnoha oblastech matematiky. Například v lineární algebře lze jednotkovou matici napsat jako zatímco tenzor, Kroneckerův tenzor, lze napsat s kontravariantním indexem j. To je přesnější způsob zápisu jednotkové matice, považované za lineární zobrazení.

Zobecnění delta funkce[editovat | editovat zdroj]

Ve stejném duchu můžeme analogicky definovat vícedimenzionální funkci mnoha proměnných

.

Tato funkce nabývá hodnotu 1 tehdy a jen tehdy, když všechny horní indexy jsou stejné jako dolní indexy, a nabývá hodnotu nula ve všech ostatních případech.

Kroneckerovo delta jako tenzor[editovat | editovat zdroj]

V diferenciální nebo Riemannově geometrii se využívá obecnější zavedení Kroneckerova delta - zavádí se jako tenzor druhého řádu, který je na varietě M definován jako

nebo v souřadnicovém zápisu jen jako tak, že je-li a jinak. Takto zavedený objekt se chová jako tenzor a jeho hodnota je stejná ve všech soustavách souřadnic. Pokud indexy snížíme, nebo zvýšíme, může být hodnota , resp. , obecně jiná.

Související články[editovat | editovat zdroj]