Tenzor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Tenzor je v matematice objekt, který je zobecněním pojmu vektor. Zatím co složky vektoru je možné označit jedním indexem, tenzor může mít více indexů, např. T_{kl \cdots n}.

Jako tenzor T se označuje soubor reálných a nebo komplexních čísel T_{{i_1}{i_2} \cdots {i_n}} (počet indexů je n), které se nazývají složky (komponenty) tenzoru, které se při transformaci souřadnic x_i^\prime = \sum_j a_{ij} x_j transformují následujícím způsobem.

T_{{i_1}{i_2} \cdots {i_n}}^\prime = \sum_{{k_1}{k_2} \cdots {k_n}} a_{{i_1}{k_1}} a_{{i_2}{k_2}} \cdots a_{{i_n}{k_n}} T_{{k_1}{k_2} \cdots {k_n}}

Pokud n je počet indexů tenzoru T, nazýváme T tenzorem n-tého řádu.

Část matematiky, která při své práci používá tenzory, se označuje jako tenzorový počet. Tenzory se uplatňují nejen v matematice, ale i ve fyzice.

Máme např. dva vektory \mathbf{A}, \mathbf{B}, můžeme z nich vytvořit tenzor druhého řádu, kterého složky budou určené vztahem T_{ij} = A_i B_j. Tenzorový charakter je možné ověřit na základě transformačních pravidel pro vektory, tzn.

T_{kl}^\prime = A_k^\prime B_l^\prime = (\sum_i a_{ki} A_i)(\sum_j a_{lj} B_j) = \sum_{i,j} a_{ki} a_{lj} A_i B_j = \sum_{i,j} a_{ki} a_{lj} T_{ij}

Speciálními případy tenzorů jsou tenzory nultého řádu, které se označují jako skaláry a tenzory prvního řádu, tedy vektory.