Levi-Civitův symbol

V matematice, a zvlášť v tenzorovém počtu, se Levi-Civitův symbol (pojmenovaný po italském matematikovi Tullio Levi-Civitovi), také nazývaný permutační symbol nebo antisymetrický symbol, definuje následovně:

Levi-Civitův symbol

$\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\mbox{je-li }}(i,j,k){\mbox{ rovno }}(1,2,3),(2,3,1){\mbox{ nebo }}(3,1,2),\\-1&{\mbox{je-li }}(i,j,k){\mbox{ rovno }}(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ nebo }}(2,1,3),\\0&{\mbox{jindy, tj.: }}i=j{\mbox{ nebo }}j=k{\mbox{ nebo }}k=i,\end{cases}}$

tj. hodnota je 1 jestliže (i, j, k) je sudá permutace (1,2,3) a −1 jestliže je lichá.

Je pojmenován po italském matematikovi Civitovi. Používá se v mnoha oblastech matematiky a fyziky.

Například v algebře lze determinant 3×3 matice A napsat jako

$\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}$

(a podobně pro čtvercové matice libovolné velikosti, viz níže)

a vektorový součin dvou vektorů lze napsat jako determinant:

$\mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\mathbf {e_{i}} a_{j}b_{k}$

nebo jednodušeji:

$\mathbf {a\times b} =\mathbf {c} ,\ c_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}$

Toto lze dále zjednodušit užitím Einsteinovy konvence.

Levi-Civitův symbol lze zobecnit na vyšší dimenze:

$\varepsilon _{ijk\ell \dots }=\left\{{\begin{matrix}+1&{\mbox{je-li }}(i,j,k,\ell ,\dots ){\mbox{ suda permutace}}(1,2,3,4,\dots )\\-1&{\mbox{je-li }}(i,j,k,\ell ,\dots ){\mbox{ licha permutace }}(1,2,3,4,\dots )\\0&{\mbox{jsou-li si 2 indexy rovny}}\end{matrix}}\right.$

Tudíž je rovno znaménku permutace v případě permutace, a nule jindy.

Tenzor, jehož komponenty jsou dány symbolem Levi-Civita (tenzor kovariantního rozsahu n), se někdy nazývá permutační tenzor. Ve skutečnosti se jedná o pseudotenzor, protože dává záporné znaménko při ortogonální transformaci jakobiánova determinantu −1 (tj.rotace složené s odrazem). Protože Levi-Civitův symbol je pseudotenzor, výsledek vektorového součinu je pseudovektor, a ne vektor.

Levi-Civitův symbol má vztah ke Kroneckerovu delta. Ve třech dimenzích je vztah dán následujícími rovnicemi:

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}=\delta _{il}\delta _{jm}\delta _{kn}+\delta _{im}\delta _{jn}\delta _{kl}+\delta _{in}\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{il}\delta _{jn}\delta _{km}-\delta _{in}\delta _{jm}\delta _{kl}-\delta _{im}\delta _{jl}\delta _{kn}$

$\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}$

$\sum _{i,j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}$

Navíc lze ukázat, že

$\sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon _{ijk\dots }=n!$

vždy platí v n dimenzích.

Příklady

1. Determinant $n\times n$ matice $A=(a_{ij})$ lze napsat jako

$\det A=\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}a_{1i_{1}}\cdots a_{ni_{n}},$

kde každé $i_{l}$ se sečte přes $1,\ldots ,n.$

Ekvivalentně můžeme napsat

$\det A={\frac {1}{n!}}\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}\cdots j_{n}}a_{i_{1}j_{1}}\cdots a_{i_{n}j_{n}},$

kde nyní každé $i_{l}$ a každé $j_{l}$ se sečte přes $1,\ldots ,n$.

2. Jestliže $A=(A^{1},A^{2},A^{3})$ a $B=(B^{1},B^{2},B^{3})$ jsou vektory v $R^{3}$, pak $i$tá komponenta jejich vektorového součinu je rovna

$(A\times B)^{i}=\varepsilon ^{ijk}A^{j}B^{k}.$

například první komponenta $A\times B$ je $A^{2}B^{3}-A^{3}B^{2}$. Z výše uvedeného výrazu pro vektorový součin je zřejmé, že $A\times B=-B\times A$. Dále jestliže $C=(C^{1},C^{2},C^{3})$ je vektor, podobně jako $A$ a $B$, pak trojčlenný skalární součin

$A\cdot (B\times C)=\varepsilon ^{ijk}A^{i}B^{j}C^{k}.$

Z tohoto výrazu lze vidět, že trojčlenný skalární součin je antisymetrický vzhledem k výměně sousedních argumentů. Například $A\cdot (B\times C)=-B\cdot (A\times C)$.

3. Předpokládejme, že $F=(F^{1},F^{2},F^{3})$ je vektorové pole definované na nějaké otevřené množině $R^{3}$ s katézskými souřadnicemi $x=(x^{1},x^{2},x^{3})$. Pak $i$tá komponenta rotace $F$ se rovná

$(\nabla \times F)^{i}(x)=\varepsilon ^{ijk}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}F^{k}(x).$

Související články

• Funkce signum
• Znaménko permutace
• Izotropní tenzor