Levi-Civitův symbol

V matematice, a zvlášť v tenzorovém počtu, se Levi-Civitův symbol (pojmenovaný po italském matematikovi Tullio Levi-Civitovi), také nazývaný permutační symbol nebo antisymetrický symbol, definuje následovně:

Levi-Civitův symbol

$\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\mbox{je-li }}(i,j,k){\mbox{ rovno }}(1,2,3),(2,3,1){\mbox{ nebo }}(3,1,2),\\-1&{\mbox{je-li }}(i,j,k){\mbox{ rovno }}(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ nebo }}(2,1,3),\\0&{\mbox{jindy, tj.: }}i=j{\mbox{ nebo }}j=k{\mbox{ nebo }}k=i,\end{cases}}$$\varepsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 & \mbox{je-li } (i,j,k) \mbox{ rovno } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ nebo } (3,1,2), \\ -1 & \mbox{je-li } (i,j,k) \mbox{ rovno } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ nebo } (2,1,3), \\ 0 & \mbox{jindy, tj.: }i=j \mbox{ nebo } j=k \mbox{ nebo } k=i, \end{cases}$

tj. hodnota je 1 jestliže (i, j, k) je sudá permutace (1,2,3) a −1 jestliže je lichá.

Je pojmenován po italském matematikovi Civitovi. Používá se v mnoha oblastech matematiky a fyziky.

Například v algebře lze determinant 3×3 matice A napsat jako

$\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}$$\sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_{1i} a_{2j} a_{3k}$

(a podobně pro čtvercové matice libovolné velikosti, viz níže)

a vektorový součin dvou vektorů lze napsat jako determinant:

$\mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\mathbf {e_{i}} a_{j}b_{k}$$\mathbf{a \times b} = \begin{vmatrix} \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix} = \sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \mathbf{e_i} a_j b_k$

nebo jednodušeji:

$\mathbf {a\times b} =\mathbf {c} ,\ c_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}$$\mathbf{a \times b} = \mathbf{c},\ c_i = \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k$

Toto lze dále zjednodušit užitím Einsteinovy konvence.

Levi-Civitův symbol lze zobecnit na vyšší dimenze:

$\varepsilon _{ijk\ell \dots }=\left\{{\begin{matrix}+1&{\mbox{je-li }}(i,j,k,\ell ,\dots ){\mbox{ suda permutace}}(1,2,3,4,\dots )\\-1&{\mbox{je-li }}(i,j,k,\ell ,\dots ){\mbox{ licha permutace }}(1,2,3,4,\dots )\\0&{\mbox{jsou-li si 2 indexy rovny}}\end{matrix}}\right.$$\varepsilon_{ijk\ell\dots} = \left\{ \begin{matrix} +1 & \mbox{je-li }(i,j,k,\ell,\dots) \mbox{ suda permutace} (1,2,3,4,\dots) \\ -1 & \mbox{je-li }(i,j,k,\ell,\dots) \mbox{ licha permutace } (1,2,3,4,\dots) \\ 0 & \mbox{jsou-li si 2 indexy rovny} \end{matrix} \right.$

Tudíž je rovno znaménku permutace v případě permutace, a nule jindy.

Tenzor, jehož komponenty jsou dány symbolem Levi-Civita (tenzor kovariantního rozsahu n), se někdy nazývá permutační tenzor. Ve skutečnosti se jedná o pseudotenzor, protože dává záporné znaménko při ortogonální transformaci jakobiánova determinantu −1 (tj.rotace složené s odrazem). Protože Levi-Civitův symbol je pseudotenzor, výsledek vektorového součinu je pseudovektor, a ne vektor.

Levi-Civitův symbol má vztah ke Kroneckerovu delta. Ve třech dimenzích je vztah dán následujícími rovnicemi:

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}=\delta _{il}\delta _{jm}\delta _{kn}+\delta _{im}\delta _{jn}\delta _{kl}+\delta _{in}\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{il}\delta _{jn}\delta _{km}-\delta _{in}\delta _{jm}\delta _{kl}-\delta _{im}\delta _{jl}\delta _{kn}$$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} = \delta_{il}\delta_{jm}\delta_{kn} + \delta_{im}\delta_{jn}\delta_{kl} + \delta_{in}\delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{il}\delta_{jn}\delta_{km} - \delta_{in}\delta_{jm}\delta_{kl} - \delta_{im}\delta_{jl}\delta_{kn}$

$\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}$$\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}$

$\sum _{i,j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}$$\sum_{i,j=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}$

Navíc lze ukázat, že

$\sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon _{ijk\dots }=n!$$\sum_{i,j,k,\dots=1}^n \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon_{ijk\dots} = n!$

vždy platí v n dimenzích.

Příklady

1. Determinant $n\times n$$n\times n$ matice $A=(a_{ij})$$A=(a_{ij})$ lze napsat jako

$\det A=\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}a_{1i_{1}}\cdots a_{ni_{n}},$$\det A = \varepsilon_{i_1\cdots i_n} a_{1i_1} \cdots a_{ni_n},$

kde každé $i_{l}$$i_l$ se sečte přes $1,\ldots ,n.$$1,\ldots, n.$

Ekvivalentně můžeme napsat

$\det A={\frac {1}{n!}}\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}\cdots j_{n}}a_{i_{1}j_{1}}\cdots a_{i_{n}j_{n}},$$\det A = \frac{1}{n!} \varepsilon_{i_1\cdots i_n} \varepsilon_{j_1\cdots j_n} a_{i_1 j_1} \cdots a_{i_n j_n},$

kde nyní každé $i_{l}$$i_l$ a každé $j_{l}$$j_l$ se sečte přes $1,\ldots ,n$$1,\ldots, n$.

2. Jestliže $A=(A^{1},A^{2},A^{3})$$A=(A^1, A^2, A^3)$ a $B=(B^{1},B^{2},B^{3})$$B=(B^1, B^2, B^3)$ jsou vektory v $R^{3}$$R^3$, pak $i$$i$tá komponenta jejich vektorového součinu je rovna

$(A\times B)^{i}=\varepsilon ^{ijk}A^{j}B^{k}.$$(A\times B)^i = \varepsilon^{ijk} A^j B^k.$

například první komponenta $A\times B$$A\times B$ je $A^{2}B^{3}-A^{3}B^{2}$$A^2 B^3-A^3 B^2$. Z výše uvedeného výrazu pro vektorový součin je zřejmé, že $A\times B=-B\times A$$A\times B = -B\times A$. Dále jestliže $C=(C^{1},C^{2},C^{3})$$C=(C^1, C^2, C^3)$ je vektor, podobně jako $A$$A$ a $B$$B$, pak trojčlenný skalární součin

$A\cdot (B\times C)=\varepsilon ^{ijk}A^{i}B^{j}C^{k}.$$A\cdot(B\times C) = \varepsilon^{ijk} A^i B^j C^k.$

Z tohoto výrazu lze vidět, že trojčlenný skalární součin je antisymetrický vzhledem k výměně sousedních argumentů. Například $A\cdot (B\times C)=-B\cdot (A\times C)$$A\cdot(B\times C)= -B\cdot(A\times C)$.

3. Předpokládejme, že $F=(F^{1},F^{2},F^{3})$$F=(F^1, F^2, F^3)$ je vektorové pole definované na nějaké otevřené množině $R^{3}$$R^3$ s katézskými souřadnicemi $x=(x^{1},x^{2},x^{3})$$x=(x^1, x^2, x^3)$. Pak $i$$i$tá komponenta rotace $F$$F$ se rovná

$(\nabla \times F)^{i}(x)=\varepsilon ^{ijk}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}F^{k}(x).$$(\nabla \times F)^i(x) = \varepsilon^{ijk}\frac{\partial}{\partial x^j} F^k(x).$

Související články

• Funkce signum
• Znaménko permutace
• Izotropní tenzor