Levi-Civitův symbol

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

V matematice, a zvlášť v tenzorovém počtu, se Levi-Civitův symbol (pojmenovaný po italském matematikovi Tullio Levi-Civitovi), také nazývaný permutační symbol nebo antisymetrický symbol, definuje následovně:

Levi-Civitův symbol

tj. hodnota je 1 jestliže (i, j, k) je sudá permutace (1,2,3) a −1 jestliže je lichá.

Je pojmenován po italském matematikovi Civitovi. Používá se v mnoha oblastech matematiky a fyziky.

Například v algebře lze determinant 3×3 matice A napsat jako

(a podobně pro čtvercové matice libovolné velikosti, viz níže)

a vektorový součin dvou vektorů lze napsat jako determinant:

nebo jednodušeji:

Toto lze dále zjednodušit užitím Einsteinovy konvence.

Levi-Civitův symbol lze zobecnit na vyšší dimenze:

Tudíž je rovno znaménku permutace v případě permutace, a nule jindy.

Tenzor, jehož komponenty jsou dány Levi-Civitovým symbolem (tenzor kovariantního rozsahu n), se někdy nazývá permutační tenzor. Ve skutečnosti se jedná o pseudotenzor, protože dává záporné znaménko při nepřímé ortogonální transformaci (s jakobiánem −1, tj. rotace složené se zrcadlením). Protože Levi-Civitův symbol je pseudotenzor, výsledek vektorového součinu je pseudovektor a ne vektor.

Levi-Civitův symbol má vztah ke Kroneckerovu delta. Ve třech dimenzích je vztah dán následujícími rovnicemi:

Navíc zřejmě platí, že

.

vždy platí v n dimenzích (sčítáme přes všechny permutace třídy n).

Příklady[editovat | editovat zdroj]

1. Determinant matice lze napsat jako

kde každé se sečte přes

Ekvivalentně můžeme napsat

kde nyní každé a každé se sečte přes .

2. Jestliže a jsou vektory v , pak tá komponenta jejich vektorového součinu je rovna

například první komponenta je . Z výše uvedeného výrazu pro vektorový součin je zřejmé, že . Dále jestliže je vektor, podobně jako a , pak trojčlenný skalární součin

Z tohoto výrazu lze vidět, že trojčlenný skalární součin je antisymetrický vzhledem k výměně sousedních argumentů. Například .

3. Předpokládejme, že je vektorové pole definované na nějaké otevřené množině s katézskými souřadnicemi . Pak tá komponenta rotace se rovná

Související články[editovat | editovat zdroj]