Vektorové pole

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Vektorové pole - každému bodu roviny je přiřazen vektor.

Vektorové pole je v matematice a fyzice (zpravidla spojitá a dostatečně hladká) funkce přiřazující každému bodu prostoru vektor. V klasické fyzice jsou vektory obvykle umístěny v Euklidovském prostoru, ve speciální relativitě v Minkowského prostoru, obecněji může jít o jakoukoliv hladkou varietu.

Ve fyzice se užívá k popisu toho, jak se daná vektorová veličina mění bod od bodu. Příkladem může být pole rychlostí kapaliny v jednotlivých bodech, nebo vektorové pole síly v gravitačním poli.

Matematicky se vektorové pole na (hladké) varietě definuje jako zobrazení mezi danou varietou a jejím tečným bandlem. Přesněji řečeno, takto se definuje tečné vektorové pole. V moderní geometrii se často pod pojmem vektorové pole rozumí jakákoliv sekce vektorového bundlu (takto obecná definice zahrnuje i spinorová nebo tensorová pole na varietách).

Transformace pole[editovat | editovat zdroj]

Ve fyzice se obvykle zapisuje pole pomocí souřadnic. Někdy je potřebné přejít do nových souřadnic, ve kterých bude zápis vypadat jinak. Předpokládejme, pro obecnost, že máme lokální souřadnice \{x_i\} a vektory vyjadřujeme jako tečné vektory, t.j. \sum_j a_j \frac{\partial}{\partial x_j}. Nechť je pole zapsáno v původních souřadnicích jako \sum_j f_j(\{x_i\}_i) \frac{\partial}{\partial x_j}, t.j. je reprezentováno funkcemi f_i (což jsou souřadnice vektorů). Nechť \{x_i'\}_i jsou nové souřadnice a nechť bod se souřadnicemi \{x_i'\}_i má v starých souřadnicích zápis \{x_i\}_i=\psi(\{x_i'\}_i) kde \psi je homeomorfizmus. Pak v nových souřadnicích se dá pole zapsat jako \sum_j \sum_i f_i\circ\psi(\{x_k'\}_k) \frac{\partial x_j'}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_j'}.

Ve fyzice se obvykle předpokládá, že pokud jsme schopni vektorové pole nějak měřit nebo počítat z jiných veličin, pak změníme pozorovatele takovým způsobem, aby se „fyzikální zákony“ nezměnily (například v klasické fyzice je to posunutí, otočení a zrcadlení pozorovatele, ve speciální relativitě Poincarého transformace), pak by pozorovatel v nových souřadnicích měl být schopen změřit nebo spočíst to samé pole (třebaže v souřadnicích jinak vyjádřené).

Související články[editovat | editovat zdroj]