Minkowského prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Minkowského prostor se používá k popisu časoprostoru ve speciální teorii relativity. Matematicky jde o 4-rozměrný reálný lineární vektorový prostor se skalárním součinem. Změnu inerciální vztažné soustavy odpovídající Lorentzově transformaci lze chápat geometricky jako otáčení v Minkowského prostoru. Stejnou rotací přitom projdou čtyřvektory všech fyzikálních veličin.

Složky vektoru[editovat | editovat zdroj]

Vektor v Minkowského prostoru \mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu} má 4 souřadnice

a^\mu = \left( a^0, a^1, a^2, a^3 \right)\,.

První z nich nazýváme časová složka nebo časová komponenta t, ostatní tři odpovídají prostorovým souřadnicím x,y,z. Někdy se na časové ose používá jiné měřítko, což odpovídá konvenci měření času v sekundách a vzdálenosti v metrech. Přepočet mezi sekundou a metrem je dán rychlostí světla ve vakuu c=299792458\ \mathrm{m.s^{-1}}. V tomto článku předpokládáme na všech osách stejné měřítko, což odpovídá c=1. Vizte též přirozená soustava jednotek.

Skalární součin[editovat | editovat zdroj]

Skalární součin dvou vektorů v Minkowského prostoru (\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu},\ \mathbf{b}=b^{\mu}\mathbf{e}_{\mu} ) je definován vztahem

\langle \mathbf{a},\mathbf{b} \rangle \equiv a_\mu b^\mu = \eta_{\mu \nu} a^\mu b^\nu = -a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\,.

Jako v eukleidovském prostoru, dva vektory nazýváme kolmými (ortogonálními), jestliže jejich skalární součin je roven nule.

Minkowského norma[editovat | editovat zdroj]

Norma vektoru v Minkowského prostoru má trochu jiné vlastnosti než Eukleidovská norma, protože popisuje odlišnou geometrii. Předně, Minkowského norma není pozitivně definitní, může tedy nabývat i záporných hodnot. Je definována jako skalární součin vektoru se sebou samým.

||\mathbf{a}||^2 =\langle \mathbf{a},\mathbf{a} \rangle  =-a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2

Vektor je nazýván jednotkovým, pokud platí ||\mathbf{a}||^2=\pm 1.

Báze[editovat | editovat zdroj]

Standardní bázi Minkowského prostoru tvoří 4 ortogonální jednotkové vektory \mathbf{e}_0,\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3, pro které platí

-||\mathbf{e}_0||^2 = ||\mathbf{e}_1||^2 = ||\mathbf{e}_2||^2 = ||\mathbf{e}_3||^2 = 1\,.

Tuto podmínku lze stručně zapsat jako

\langle \mathbf{e}_\mu, \mathbf{e}_\nu \rangle = \eta_{\mu\nu}\,,

kde \eta je diagonální matice

\eta=\operatorname{diag}\left(-1,1,1,1\right)=
\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\,.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]