Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Matematický pojem tečný prostor variety v daném bodě značí množinu všech jejích tečných vektorů "vázaných" v tomto bodě, viz Obr. 1 . Na každém tečném prostoru je přirozeným způsobem dána struktura vektorového prostoru ; odtud tedy označení tečný prostor .
Obr. 1: Intuitivní geometrická představa tečného prostoru koule Pokud
M
{\displaystyle M}
F
(
M
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}
M
{\displaystyle M}
tečným prostorem
T
x
M
{\displaystyle T_{x}{}M}
M
{\displaystyle M}
x
∈
M
{\displaystyle x\in {}M}
funkcionálů
W
:
F
(
M
)
→
R
{\displaystyle W:{\mathcal {F}}(M)\rightarrow \mathbb {R} }
W
(
α
f
+
β
g
)
=
α
W
(
f
)
+
β
W
(
g
)
,
W
∈
α
,
β
∈
R
{\displaystyle W(\alpha {}f+\beta {}g)=\alpha \,W(f)+\beta \,W(g),\quad {}W\in \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }
f
,
g
∈
F
(
M
)
{\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}(M)}
W
(
f
g
)
=
f
(
x
)
W
(
g
)
+
g
(
x
)
W
(
f
)
,
f
,
g
∈
F
(
M
)
{\displaystyle W(fg)=f(x)\,W(g)+g(x)\,W(f),\quad {}f,g\in {\mathcal {F}}(M)}
Každý prvek
T
x
M
{\displaystyle T_{x}{}M}
M
{\displaystyle M}
x
{\displaystyle x}
Definujeme-li na
T
x
M
{\displaystyle T_{x}{}M}
W
,
X
∈
T
x
M
{\displaystyle W,X\in {}T_{x}{}M}
(
W
+
X
)
(
f
)
:=
W
(
f
)
+
X
(
f
)
,
f
∈
F
(
M
)
{\displaystyle (W+X)(f):=W(f)+X(f),\quad {}f\in {\mathcal {F}}(M)}
tvoří
T
x
M
{\displaystyle T_{x}{}M}
vektorový prostor. Navíc lze za pomocí vlastností
1 a
2 definice ukázat, že je konečněrozměrný a jeho dimenze je rovna dimenzi variety
M
{\displaystyle M}
.
Pokud máme na varietě
M
{\displaystyle M}
(
O
,
y
i
)
{\displaystyle ({\mathcal {O}},y^{i})}
x
∈
O
{\displaystyle x\in {\mathcal {O}}}
W
∈
T
x
M
{\displaystyle W\in {}T_{x}{}M}
souřadnicových vektorových polí
(
∂
/
∂
y
i
)
i
=
1
d
i
m
M
{\displaystyle \left(\partial /\partial {}y^{i}\right)_{i=1}^{\mathrm {dim} M}}
W
=
∑
i
=
1
d
i
m
M
W
(
y
i
)
∂
∂
y
i
|
x
{\displaystyle W=\sum _{i=1}^{\mathrm {dim} M}W(y^{i}){\frac {\partial }{\partial {}y^{i}}}|_{x}}
Obr.2: Tečný vektor křivky
γ
(
t
)
{\displaystyle \gamma (t)}
x
{\displaystyle x}
Jestliže
γ
(
t
)
:
I
→
M
{\displaystyle \gamma (t):I\rightarrow {}M}
I
{\displaystyle I}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
M
{\displaystyle M}
x
∈
M
{\displaystyle x\in {}M}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
v
:
f
↦
d
d
t
(
f
∘
γ
)
|
t
=
0
,
f
∈
F
(
M
)
,
{\displaystyle v:f\mapsto {}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(f\circ \gamma )|_{t=0},\quad {}f\in {\mathcal {F}}(M),}
tečným vektorem variety
M
{\displaystyle M}
v bodě
x
{\displaystyle x}
a současně tečným vektorem křivky
γ
(
t
)
{\displaystyle \gamma (t)}
v
x
{\displaystyle x}
.
Fecko M., Differential Geometry and Lie Groups for Physicists, Cambridge 2006
Krump L., Souček V., Těšínský J. A.: Matematická analýza na Varietách, skripta MFF UK, Karolinum 1999
Kowalski O., Úvod do Riemannovy geometrie, Univerzita Karlova, Praha 1995 
