Tečný prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Matematický pojem tečný prostor variety v daném bodě značí množinu všech jejích tečných vektorů "vázaných" v tomto bodě, viz Obr. 1. Na každém tečném prostoru je přirozeným způsobem dána struktura vektorového prostoru; odtud tedy označení tečný prostor.

Obr. 1: Intuitivní geometrická představa tečného prostoru koule

Definice[editovat | editovat zdroj]

Pokud je hladká varieta a značí množinu všech hladkých funkcí definovaných na , pak tečným prostorem variety v bodě nazveme množinu všech funkcionálů splňujících:

  1. ,

Každý prvek nazveme tečným vektorem v bodě .

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Lineární struktura[editovat | editovat zdroj]

Definujeme-li na sčítání dvou prvků ,

tvoří vektorový prostor. Navíc lze za pomocí vlastností 1 a 2 definice ukázat, že je konečněrozměrný a jeho dimenze je rovna dimenzi variety .

Tečný vektor v lokálních souřadnicích[editovat | editovat zdroj]

Pokud máme na varietě lokální systém souřadnic , , můžeme tečný vektor rozvinout v bázi souřadnicových vektorových polí :

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Obr.2: Tečný vektor křivky v bodě

Jestliže ( je otevřený interval v ) je hladká křivka na varietě procházející bodem v , je zobrazení

tečným vektorem variety v bodě a současně tečným vektorem křivky v .

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Fecko M., Differential Geometry and Lie Groups for Physicists, Cambridge 2006
  • Krump L., Souček V., Těšínský J. A.: Matematická analýza na Varietách, skripta MFF UK, Karolinum 1999
  • Kowalski O., Úvod do Riemannovy geometrie, Univerzita Karlova, Praha 1995