Riemannova geometrie

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Riemannova (riemannovská) geometrie je oblast diferenciální geometrie, která se zabývá studiem Riemannových prostorů. Riemannův prostor je hladká varieta, na které lze měřit velikosti a úhly tečných vektorů, měřit délky křivek a paralelně přenášet vektory.

Riemannova geometrie vznikla v polovině 19. století ve snaze zobecnit a klasifikovat nové neeukleidovské geometrie jako jsou hyperbolická a sférická geometrie. Tyto geometrie se v Riemannově geometrii vyskytují jako plochy s nenulovou konstantní křivostí, přičemž eukleidovská geometrie se dá modelovat jako Riemannova geometrie s nulovou křivostí.

Pseudoriemannova geometrie[editovat | editovat zdroj]

O Riemannově geometrii se obvykle hovoří pouze v případě, že všechny nenulové tečné vektory mají kladnou velikost. Jinými slovy, metrický tenzor je pozitivně definitní. Je-li indefinitní, což je příklad prostoročasuobecné teorii relativity, pak se hovoří o pseudo-Riemannově (pseudoriemannovské) geometrii. Podkladový prostor se pak nazývá pseudoriemannova varieta. Pseudoriemannova geometrie našla uplatnění především v Einsteinově obecné teorii relativity, ve které slouží jako model časoprostoru. Rovnice obecné teorie relativity pak dávají do souvislosti hmotu a zakřivení časoprostoru, přičemž se předpokládá, že předměty se pohybují po geodetikách.