Metrický tenzor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice je metrický tenzor zpravidla tenzorové pole druhého řádu na hladké varietě, které dává do souvislosti souřadnice a vzdálenost. Jinými slovy, zvolíme na tečném bandlu hladké variety tenzorové pole druhého řádu. V daném bodě variety přiřadí toto pole dvěma vektorům z tečného prostoru reálné číslo.

Dosadíme-li dva různé vektory U,V, realizuje tento přepis jejich skalární součin. Dosadíme-li dva stejné vektory V, definujeme tímto přepisem čtverec velikosti vektoru V. Pokud pro každý vektor V a každý bod variety je toto číslo kladné, označujeme metriku jako Riemannovskou. V obecném případě, kdy může čtverec velikosti vektoru vyjít záporný, označujeme metriku jako pseudo-Riemannovskou. Toto je typické např. pro Obecnou teorii relativity.

Metrická forma[editovat | editovat zdroj]

Dále využíváme souřadnicový zápis vektorů. Kvadrát vzdálenosti dvou bodů je metrickým tenzorem dán v závislosti na souřadnicích v diferenciálním tvaru předpisem:

,

kde využíváme Einsteinovu sumační konvenci, tedy sčítání přes všechny hodnoty stejných indexů v jednom členu, které mají opačnou polohu. Tento výraz bývá označován jako základní (nebo metrická) forma daného metrického prostoru.

Předpokládejme, že představují kartézské souřadnice v -rozměrném eukleidovském prostoru. V takovém případě lze s použitím Einsteinova sumačního pravidla psát

Použijeme-li v tomto prostoru křivočaré souřadnice , tzn. , lze metrickou formu přepsat na tvar

Vyjádříme-li metrický tenzor jako

,

pak lze metrickou formu v křivočarých souřadnicích vyjádřit jako

Např. délku křivky spočteme jako:

kde je parametr křivky. Takto se délka křivky zpravidla definuje pouze pokud je člen pod odmocninou podél celé křivky kladný.

Kovariantní tenzor bývá také vyjadřován jako

,

kde představují bázi.

Podobně lze pro kontravariantní složky metrického tenzoru psát

a pro smíšené složky

,

kde je Kroneckerovo delta a jsou prvky sdružených bází.

Výpočet velikostí vektorů, úhlů a vzdáleností[editovat | editovat zdroj]

Velikost vektoru je tedy dána vztahem

Úhel dvou vektorů je zpravidla definován pomocí kosinové věty (jelikož kosinus úhlu sevřeného dvěma vektory je podílem skalárního součinu těchto vektorů a součinu velikostí těchto vektorů) přepisem

jsou-li výrazy pod odmocninou kladné.

Zvedání a snižování indexů metrickým tenzorem[editovat | editovat zdroj]

Metrický tenzor zajišťuje rovněž přechod mezi tečným prostorem a kotečným prostorem variety. (Často se lze setkat s jiným popisem, totiž že metrický tenzor umožňuje transformovat vektorové a tenzorové veličiny mezi kovariantní a kontravariantní bází daného prostoru. Kovariantní a kontravariantní komponenty tenzorů jsou odlišeny polohou indexů značících složky tenzoru. Odtud zvedání a snižování indexů.) To mj. znamená, že se prostřednictvím metrického tenzoru zvedají a snižují indexy vektorů a tenzorů, a to následujícím způsobem:

Definujeme kontravariantní vyjádření metrického tenzoru vztahy

,

kde je kroneckerovo delta. Složky známe, kdežto složky jsou touto soustavou jednoznačně určeny. Potom indexy tenzoru (m+n)-tého řádu zvyšujeme či snižujeme následujícím způsobem:

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Metrický tenzor je symetrický, tzn.

Související články[editovat | editovat zdroj]