Paralelní přenos (geometrie)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Paralelní přenos je způsob, jakým lze vytvořit rovnoběžný vektor k jinému vektoru v libovolně zakřiveném prostoru (nebo prostoročase).

Odvození[editovat | editovat zdroj]

Mějme v lokálním inerciálním systému dva body a mezi nimi libovolnou křivku, jejíž parametrizaci označíme jako . V jednom z těchto bodů mějme vektor (index označuje jeho složky). Vektor k němu rovnoběžný ve druhém bodě vytvoříme tak, že budeme přenášet podél definované křivky paralelně, tj. za splněné podmínky

.

Vektor, který je rovnoběžný ke křivce, označíme . Z definice platí pro jeho složky

,

kde značí složky polohového vektoru v lokálním inerciálním systému. Pak z předchozí rovnice plyne

(zde symbol znamená derivaci podle souřadnice).

Označíme-li polohové vektory v obecných souřadnicích , pak transformace vektoru na je dána vztahem

Po dosazení do první rovnice dostaneme

.

Přeznačením indexů u prvního výrazu z na a vynásobením přejde rovnice na

,

což lze také zapsat jako

,

kde jsou složky afinní konexe. Toto je rovnice pro paralelní přenos.

Rovnice geodetiky[editovat | editovat zdroj]

Rovnici paralelního přenosu

lze také zapsat pomocí kovariantní derivace jednoduše jako

nebo .

Pokud přenášíme rovnoběžný vektor

,

dostaneme rovnici geodetiky

.