Kovariantní derivace

Kovariantní derivace je geometrický způsob derivování vektorových a tenzorových polí, při němž se využívá jejich paralelní přenos pomocí tzv. konexe. Základní vlastností kovariantního derivování je, že převádí tenzorová pole opět v tenzorová pole, což při obvyklém způsobu derivování neplatí.

Obyčejná parciální derivace vektorového pole v křivočarých souřadnicích nevyjadřuje objektivní změny vektorových a tenzorových polí, protože např. i konstantní vektorové pole bude mít v křivočarých souřadnicích proměnné složky a tedy nenulové parciální derivace svých komponent. Z toho důvodu je nutno použít patřičnou konexi a nejprve vektory přenést paralelně do jednoho společného bodu a pak teprve porovnávat jejich komponenty.

Historie a vývoj

Koncept kovariantní derivace vznikl v rámci rozvoje diferenciální geometrie a snahy popsat geometrii zakřivených prostorů „vnitřním“ způsobem:

Elwin Bruno Christoffel (1869): Položil základy zavedením tzv. symbolů tří indexů (dnes Christoffelovy symboly), které umožnily derivování v zakřivených souřadnicích.
Gregorio Ricci-Curbastro (1880–1890): Zakladatel absolutního diferenciálního kalkulu. Rozvinul myšlenku „kovariantního diferencování“, nezávislého na volbě souřadnic.
Tullio Levi-Civita (1917): Dal pojmu geometrický význam skrze koncept paralelního přenosu. Ukázal, že kovariantní derivace popisuje změnu vektoru vůči lokální geometrii variety.
Hermann Weyl (1918): Zobecnil konexi v rámci pokusu o sjednocení gravitace a elektromagnetismu a zavedl pojem afinní konexe.
Élie Cartan (20. léta 20. stol.): Zavedl moderní přístup pomocí diferenciálních forem.

Motivace a transformace souřadnic

Hlavním problémem parciální derivace $\partial _{\nu }V^{\mu }$ je, že se při změně souřadnic z $x$ na $x'$ netransformuje jako tenzor. Kvůli Leibnizovu pravidlu se v transformačním vztahu objevuje dodatečný člen s druhou derivací souřadnic:

\partial _{\nu '}V^{\mu '}={\frac {\partial x^{\beta }}{\partial x^{\nu '}}}{\frac {\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\alpha }}}(\partial _{\beta }V^{\alpha })+{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial x^{\nu '}}}{\frac {\partial ^{2}x^{\mu '}}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}V^{\alpha }

Kovariantní derivace tento nedostatek napravuje přidáním korekčního členu (konexe), který tento nežádoucí „netenzorový“ příspěvek vyruší.

Formální definice

Nechť $M$ je hladká varieta a $\nabla$ je afinní konexe na $M$ . Kovariantní derivace vektorového pole $Y$ ve směru $X$ (značíme $\nabla _{X}Y$ ) splňuje následující axiomy:

Linearita v X: $\nabla _{fX+gY}Z=f\nabla _{X}Z+g\nabla _{Y}Z$
Aditivita v Y: $\nabla _{X}(Y+Z)=\nabla _{X}Y+\nabla _{X}Z$
Leibnizovo pravidlo: $\nabla _{X}(fY)=X(f)Y+f\nabla _{X}Y$

Kde $f,g$ jsou hladké funkce na $M$ .

Souřadnicové vyjádření

V lokálních souřadnicích definujeme Christoffelovy symboly $\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }$ . Kovariantní derivace složek vektoru $V^{\mu }$ je pak dána vztahem:

\nabla _{\beta }V^{\mu }=\partial _{\beta }V^{\mu }+\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }V^{\alpha }

Pro kovektor $A_{\mu }$ (duální vektorové pole) platí:

\nabla _{\beta }A_{\mu }=\partial _{\beta }A_{\mu }-\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }A_{\alpha }

Díky transformačnímu zákonu Christoffelových symbolů se netenzorové členy při transformaci souřadnic vzájemně odečtou a výsledek se transformuje jako tenzor typu (1,1).

Zkrácený zápis (čárková a středníková konvence)

V literatuře o obecné relativitě se často používá zkrácený indexový zápis, kde čárka značí parciální derivaci a středník derivaci kovariantní:

Parciální derivace: $V_{,\beta }^{\mu }\equiv \partial _{\beta }V^{\mu }$
Kovariantní derivace: $V_{;\beta }^{\mu }\equiv \nabla _{\beta }V^{\mu }$

Vztah pro kovariantní derivaci vektoru lze tedy kompaktně zapsat jako:

V_{;\beta }^{\mu }=V_{,\beta }^{\mu }+\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }V^{\alpha }

Tento zápis je užitečný zejména při práci s derivacemi vyšších řádů nebo při zápisu složitých tenzorových rovnic, jako jsou Maxwellovy rovnice v zakřiveném prostoročase.

Význam ve fyzice

V obecné relativitě je kovariantní derivace klíčová pro formulaci fyzikálních zákonů v zakřiveném prostoročase. Nahrazením parciálních derivací kovariantními (tzv. princip minimální substituce) zajistíme, že rovnice (např. Einsteinovy rovnice gravitačního pole) zůstávají platné v libovolné souřadnicové soustavě.

Literatura

MISNER, Charles W. Gravitation. [s.l.]: W. H. Freeman, 1973. Dostupné online. ISBN 0-7167-0344-0.
CARROLL, Sean M. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. [s.l.]: Addison Wesley, 2004. Dostupné online. ISBN 0-8053-8732-3.
FECKO, Marián. Differential Geometry and Lie Groups for Physicists. [s.l.]: Cambridge University Press, 2006. Dostupné online. ISBN 978-0521845076.
PRAVDA, Vojtěch. Úvod do tenzorového počtu a obecné relativity. [s.l.]: Karolinum, 2005.

Související články