Riemannův prostor

Riemannova varieta (též riemannovský prostor nebo riemannův prostor) je hladká varieta, na které je v každém bodě definován skalární součin tečných vektorů a je vybavená kladně definitním metrickým tenzorem, který umožňuje definovat délky křivek, úhly mezi tečnými vektory, plochy a další geometrické vlastnosti prostoru.^[1]^[2]

Riemannovy variety jsou základním objektem riemannovské geometrie. Mezi jejich speciální případy patří eukleidovský prostor, sféra se sférickou geometrií nebo hyperbolický prostor.^[1]

Zobecněním Riemannovy variety je pseudo-riemannovská varieta, jejíž metrický tenzor není kladně definitní. Pseudo-riemannovské variety hrají významnou roli v obecné teorii relativity, kde slouží jako matematický model časoprostoru.^[3]

Definice

Riemannova varieta je dvojice $(M,g),$ kde $M$ je hladká varieta a $g$ kladně definitní metrický tenzor na $M$ .^[1]^[2]

Metrika v každém bodě $x\in M$ určuje skalární součin vektorů tečného prostoru $T_{x}M$ . Je-li $g_{\mu \nu }$ metrický tenzor a $u^{\mu }$ , $v^{\mu }$ dva vektory, pak je jejich skalární součin dán vztahem

g_{\mu \nu }u^{\mu }v^{\nu }.

Metrický tenzor je symetrický, $g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu },$ a kladně definitní, tedy pro každý nenulový vektor $v^{\mu }$ platí

g_{\mu \nu }v^{\mu }v^{\nu }>0.

^[1]

Geometrické vlastnosti

Metrický tenzor umožňuje na Riemannově varietě definovat základní geometrické veličiny obdobně jako v eukleidovském prostoru. Pomocí metriky lze určovat velikosti vektorů, úhly mezi vektory, délky křivek, obsahy ploch a objemy oblastí.^[2]^[1]

Velikost vektoru $v^{\mu }$ je dána vztahem

|v|={\sqrt {g_{\mu \nu }v^{\mu }v^{\nu }}}.

Je-li $u^{\mu }$ a $v^{\mu }$ dvojice nenulových vektorů, lze úhel $\vartheta$ mezi nimi definovat pomocí vztahu

\cos \vartheta ={\frac {g_{\mu \nu }u^{\mu }v^{\nu }}{{\sqrt {g_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }}}{\sqrt {g_{\mu \nu }v^{\mu }v^{\nu }}}}}.

^[2]

Pomocí metrické formy

\mathrm {d} s^{2}=g_{\mu \nu }\,\mathrm {d} x^{\mu }\,\mathrm {d} x^{\nu }

lze definovat také délku křivek a vzdálenost mezi body variety.^[2]

Geodetiky

Geodetiky jsou křivky, které zobecňují pojem přímky z eukleidovského prostoru na Riemannovu varietu.^[1]^[3]

Jsou charakterizovány tím, že jejich tečný vektor je podél křivky paralelně přenášen pomocí Levi-Civitovy konexe. Je-li $x^{\mu }(\lambda )$ parametrické vyjádření geodetiky, pak platí geodetická rovnice

{\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{\mu }}{\mathrm {d} \lambda ^{2}}}+\Gamma _{\nu \rho }^{\mu }{\frac {\mathrm {d} x^{\nu }}{\mathrm {d} \lambda }}{\frac {\mathrm {d} x^{\rho }}{\mathrm {d} \lambda }}=0,

kde $\Gamma _{\nu \rho }^{\mu }$ jsou Christoffelovy symboly.^[3]

Lokálně geodetiky realizují nejkratší spojení dvou dostatečně blízkých bodů variety. V eukleidovském prostoru jsou geodetikami přímky, zatímco na sféře jsou geodetikami části hlavních kružnic.^[1]

Křivost

Na rozdíl od eukleidovského prostoru mohou být Riemannovy variety zakřivené. Křivost variety je popsána Riemannovým tenzorem křivosti, který je odvozen z Levi-Civitovy konexe.^[3]^[1]

Riemannův tenzor určuje, jak se mění vektory při paralelním přenosu podél uzavřených křivek a jak se od sebe odchylují geodetiky.^[3]

Ve složkách je Riemannův tenzor definován vztahem

R_{\ \sigma \mu \nu }^{\rho }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda },

kde $\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }$ jsou Christoffelovy symboly.^[3]

Z Riemannova tenzoru lze odvodit další důležité veličiny, například Ricciho tenzor a skalární křivost.^[3]

Využití ve fyzice

Riemannovy a zejména pseudo-riemannovské variety nacházejí široké uplatnění v teoretické fyzice. Umožňují geometrický popis prostorů, na nichž jsou definována fyzikální pole, a poskytují přirozený jazyk pro formulaci fyzikálních zákonů nezávislých na volbě souřadnic.^[3]

Nejvýznamnější aplikací je obecná teorie relativity, ve které je časoprostor modelován jako čtyřrozměrná pseudo-riemannovská varieta vybavená lorentzovskou metrikou. Gravitační pole je zde popsáno metrickým tenzorem a jeho křivostí, kterou charakterizuje Riemannův tenzor křivosti, Ricciho tenzor a Einsteinův tenzor.^[3]

Geodetiky této variety představují trajektorie volně se pohybujících částic a světelných paprsků. Einsteinovy rovnice pole vyjadřují vztah mezi zakřivením časoprostoru a rozložením hmoty a energie.^[3]

Odkazy

Reference

1 2 3 4 5 6 7 8 KREJČIŘÍK, David. Riemannovská geometrie. [s.l.]: Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská ČVUT v Praze, 2025. Dostupné online. Jednosemestrální přednáška Úvod do riemannovské geometrie.
1 2 3 4 5 KRTOUŠ, Pavel. Geometrické metody ve fyzice. [s.l.]: Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Dostupné online.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 WALD, Robert M. General Relativity. Chicago: University of Chicago Press, 1984. ISBN 978-0-226-87033-5.

Související články

Literatura

Externí odkazy

ULLMANN, Vojtěch. Gravitace, černé díry a fyzika prostoročasu [online]. Dostupné online.

[Krejcirik-1] 1 2 3 4 5 6 7 8 KREJČIŘÍK, David. Riemannovská geometrie. [s.l.]: Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská ČVUT v Praze, 2025. Dostupné online. Jednosemestrální přednáška Úvod do riemannovské geometrie.

[Krtous-2] 1 2 3 4 5 KRTOUŠ, Pavel. Geometrické metody ve fyzice. [s.l.]: Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Dostupné online.

[Wald-3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 WALD, Robert M. General Relativity. Chicago: University of Chicago Press, 1984. ISBN 978-0-226-87033-5.

[1]

[2]

[3]