Sféra (matematika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice se slovem sféra označuje obvykle kulová plocha, tj. povrch koule, resp. prostor, který je povrchu koule (v různém smyslu) podobný. Sféra dimenze n se někdy značí n-sféra.

Definice[editovat | editovat zdroj]

  • V Euklidovské geometrii a v klasické analýze je n-rozměrná sféra poloměru r definována
  • V topologii je n-rozměrná sféra topologický prostor homeomorfní výše uvedené euklidovské sféře. Ekvivalentně, sféra je jednobodová kompaktifikace prostoru . Pro se také definuje sféra , která je v jistém smyslu limitou konečně rozměrných sfér.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • n-sféra je kompaktní, souvislá pro dimenzi n > 0 a pro n>1 také jednoduše souvislá množina.
  • Obsah (dvourozměrné euklidovské) sféry je , obecněji, objem (n-rozměrná míra) n-rozměrné sféry poloměru r je
  • Eulerova charakteristika n-sféry je 2 pro n sudé a 0 pro n liché.
  • Homologie a kohomologie n-sféry jsou netriviální pouze v dimenzi 0 a n.
  • Libovolná jednoduše souvislá uzavřená 2-rozměrná varieta je homeomorfní 2-sféře.
  • Libovolná jednoduše souvislá uzavřená 3-rozměrná hladká varieta je homeomorfní 3-sféře (slavná Poincarého hypotéza, jediný ze sedmi miléniových problémů, který byl zatím vyřešen).
  • Jediné sféry, které mají strukturu Lieovy grupy jsou n-sféry pro n = 0, 1, 3 (jsou to sféry jednotkových reálných čísel, komplexních čísel a kvaternionů).
  • Jediné sféry, které jsou úplně paralelizovatelné, jsou (paralelizovatelnost má souvislost s oktoniony).
  • Na n-sféře existuje paralelní hladké nenulové vektorové pole právě když n je liché.
  • 2-sféra může mít strukturu komplexní variety

Otevřené problémy[editovat | editovat zdroj]

  • Homotopie sféry nejsou obecně známy.
  • Maximální počet nezávislých vektorových polí na n-sféře není obecně znám.
  • Počet neizomorfních diferencovatelných struktur n-sféry není obecně znám.
  • Není známo, zda 6-sféra připouští strukturu komplexní variety.