Homotopie

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Homotopie je pojem z matematiky, přesněji z algebraické topologie.

Motivace[editovat | editovat zdroj]

Homotopie umožňuje postihnout některé topologické vlastnosti topologických prostorů a zachycuje v rámci matematiky představu spojité deformace prostorů a zobrazení.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť jsou topologické prostory a spojitá zobrazení mezi nimi. Homotopie mezi a je spojité zobrazení takové, že a a pro každé , kde uvažujeme s topologií danou inkluzí do s metrickou topologií a na uvažujeme součinovou topologii.

Pokud existuje homotopie mezi a řekneme, že a jsou homotopická a píšeme

Topologické prostory nazveme homotopické, pokud existují spojitá zobrazení a , že je homotopické a je homotopické .

Topologicky prostor nazveme kontraktibilní (stažitelný), pokud je homotopický jednoprvkovému topologickému prostoru (bodu).

Příklady[editovat | editovat zdroj]

1. Snadno se ověří, že každé dvě uzavřené křivky v jsou homotopické. Homotopií je např. dané formuli

2. Těžší je ověřit, že kružnice a kružnice v prostoru nejsou homotopické. Neformálně lze říci, že první kružnici nelze zdeformovat na druhou, aniž bychom s první přešli počátek, jenž do uvažovaného topologického prostou nepatří.

3. Topologický prostor , je kontraktibilní.

4. Ani malá, ani velká kružnice na toru nejsou kontraktibilní.

Tvrzení[editovat | editovat zdroj]

Relace být homotopická resp. být homotopické jsou relacemi ekvivalence na množině všech spojitých zobrazení mezi dvěma topologickými prostory, resp. na množině všech topologických prostorů.

Poznámka[editovat | editovat zdroj]

Pojem homotopické grupy vznikl z potřeb analýzy funkcí komplexní proměnné, zejména teorie integrálů na Riemannových plochách a díky snaze klasifikovat jisté třídy topologických prostorů, především tzv. hladkých variet. Pojem homotopie má rozsáhlá zobecnění v (homologické) algebře, teorii deformací, matematické fyzice a částech strunové teorie, obzvláště v teorii tzv. homologické zrcadlité symetrie.

Hladké verze homotopie v kategorii hladkých variet se někdy nazývají izotopie.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]