Topologický prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Topologický prostor je matematická struktura, která matematicky zobecňuje pojem tvar. Umožňuje také definovat na prostoru takové pojmy, jako jsou konvergence, kompaktnost a spojitost. Topologickými prostory se zabývá topologie. Vyskytuje se prakticky ve všech odvětvích moderní matematiky.

Neformální úvod[editovat | editovat zdroj]

Pojmy uzavřená množina, kompaktní množina, spojité zobrazení, konvergence posloupnosti a mnohé další byly původně zavedeny pro podmnožiny reálných čísel[zdroj?]. Lze je však definovat podobně na libovolné množině, na které je dána metrika, tzv. metrický prostor. Metrika je funkce, která splňuje několik axiomů, které zobecňují klasickou euklidovskou vzdálenost.

Pojem „topologický prostor“ vznikl proto[zdroj?], aby bylo možné mnoho metrických pojmů rozšířit na ještě širší skupinu množin, včetně některých, na nichž nemá smysl zavádět strukturu metrického prostoru. Příkladem takových množin jsou ordinální čísla.

Topologie stanoví, které množiny pokládáme za otevřené, a všechny ostatní pojmy definujeme pomocí otevřených množin. Topologickým prostorem je tedy každá množina (tzv. nosná množina) spolu se systémem jejích podmnožin (tzv. otevřené množiny), pokud splňují axiomy topologického prostoru.

Každý metrický prostor je topologickým prostorem, protože sjednocení otevřených koulí přirozeně definují systém otevřených množin. Pojmy definované topologicky splývají s pojmy zavedenými pomocí metriky - například zobrazení mezi dvěma metrickými prostory je spojité v metrickém smyslu právě tehdy, pokud je spojité v topologickém smyslu.

Jiný přístup k topologii je matematické uchopení pojmu tvar. Pro běžná geometrická tělesa platí, že se dají na sebe vzájemně spojitě zobrazit, pokud mají stejnou topologii.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Topologickým prostorem nazveme množinu X společně s kolekcí \tau podmnožin X, splňující následující axiomy:

  1. \emptyset \in \tau, X \in \tau
  2. sjednocení libovolného počtu (tj. konečného, spočetného i nespočetného) množin z \tau leží v \tau
  3. průnik konečného počtu množin z \tau leží v \tau

Kolekci \tau říkáme topologie na X. Množiny v \tau pak nazveme otevřené množiny, jejich doplňky v X uzavřené množiny.

Konkrétní topologický prostor bývá často označován jako (X,\tau).

Homeomorfní topologické prostory[editovat | editovat zdroj]

Spojitá deformace (homotopie) hrníčku na pneumatiku (toroid) ilustruje, že tyto dva předměty jsou topologicky shodné.

Říkáme, že dva topologické prostory jsou homeomorfní, pokud mezi nimi existuje homeomorfismus, tzn. zobrazení které je prosté a na, je spojité a jeho inverze je spojitá. Z pohledu topologie jsou takové prostory identické (mají stejné topologické vlastnosti).

Topologie zkoumá tvar objektů bez přihlédnutí ke vzdálenostem. Například písmena K a I jsou topogicky shodná (homeomorfní), pokud je chápeme jako dvojrozměrné útvary (tužka kreslí čáru o nenulové tloušťce), protože písmeno I vyrobené z velmi pružné gumy lze vytvarovat v K (a také v C,E,F,G,J,L atd.). Písmeno O je topologicky shodné s A,D,P, zatímco písmeno B je topologicky shodné s číslicí 8.

Pokud písmena chápeme jako křivku ve dvourozměrném prostoru (jako tužka kreslící úsečky o nulové tloušťce), pak písmena E a T (bez patiček) jsou topologicky shodná navzájem, ale liší se od K, neboť K má bod, ze kterého „vyhýbají“ čtyři křivky (je jedno, zda jsou to úsečky nebo křivé čáry), zatímco E takový bod nemá.

Každé dvě křivky, které neprotínají samy sebe jsou homeomorfní (například písmena I a L - nezáleží na tom, že L má ostrý zlom).

Jemnější a hrubší topologie[editovat | editovat zdroj]

O dvou topologiích J, H na téže množině řekneme, že J je jemnější než H (neboli H je hrubší, než J), pokud H\subseteqJ, tedy každá množina otevřená v topologii H je otevřená i podle J.

Nejhrubší topologie na libovolné množině X je tzv. triviální topologie, která je tvořena pouze množinou X a prázdnou množinou \emptyset, tzn. \tau = \{\emptyset,X\}.

Naopak nejjemnější topologie na jakékoli množině je diskrétní topologie, která obsahuje všechny podmnožiny X. Každá podmnožina X je tak zároveň otevřená i uzavřená.

Příklady topologických prostorů[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  • John L. Kelley: General topology, Birkhäuser, 1975
  • James Munkres: Topology, Cambridge University Press, 2nd edition, 1988