Banachův prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Banachovy prostory jsou normované lineární prostory, které jsou navíc úplné. Jsou to jedny z ústředních objektů zkoumání funkcionální analýzy. Jsou pojmenovány podle Stefana Banacha, který je studoval.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Banachovým prostorem rozumíme úplný normovaný lineární prostor. To znamená, že Banachův prostor je vektorový prostor V nad tělesem reálných nebo komplexních čísel s normou \|.\|, ve kterém má každá cauchyovská posloupnost v indukované metrice d(x,y) = \|x - y\| limitu.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Prostory \mathbb{R}^n a \mathbb{C}^n (všechny n-tice reálných či komplexních čísel) jsou Banachovy v libovolné normě. Opatříme-li prostory \mathbb{R}^n a \mathbb{C}^n eukleidovskou normou
\|x\| := \sqrt{|x_1|^2+\cdots+|x_n|^2},
pro x = (x_1, \ldots ,x_n), budou dokonce Hilbertovy.
\|f\|_\infty := \max_{t \in [a,b]} |f(t)|
je Banachův.
  • Vybavíme-li předchozí prostor normou
\|f\|_1 :=\int_a^b |f(t)|dt nebo \|f\|_2 :=\sqrt{\int_a^b |f(t)|^2dt},
Banachův již nebude.
  • Jestliže X je normovaný lineární prostor a Y je Banachův prostor, potom prostor všech omezených lineárních operátorů z X do Y s normou
\|A\| := \sup\{\|Ax\|: x\in X, \|x\|\leq 1\}
je Banachův prostor. Speciálně duální prostor X* k prostoru X je vždy Banachův, neboť v takovém případě Y=\mathbb{C}.

Související články[editovat | editovat zdroj]