Banachův prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Banachovy prostory jsou normované lineární prostory, které jsou navíc úplné. Jsou to jedny z ústředních objektů zkoumání funkcionální analýzy. Jsou pojmenovány podle Stefana Banacha, který je studoval.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Banachovým prostorem rozumíme úplný normovaný lineární prostor. To znamená, že Banachův prostor je vektorový prostor nad tělesem reálných nebo komplexních čísel s normou , ve kterém má každá cauchyovská posloupnost v indukované metrice limitu.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Prostory a (všechny n-tice reálných či komplexních čísel) jsou Banachovy v libovolné normě. Opatříme-li prostory a eukleidovskou normou
,
pro , budou dokonce Hilbertovy.
  • Prostor všech spojitých funkcí opatřený normou
je Banachův.
  • Vybavíme-li předchozí prostor normou
nebo ,
Banachův již nebude.
  • Jestliže X je normovaný lineární prostor a Y je Banachův prostor, potom prostor všech omezených lineárních operátorů z X do Y s normou
je Banachův prostor. Speciálně duální prostor X* k prostoru X je vždy Banachův, neboť v takovém případě .

Související články[editovat | editovat zdroj]