L^p prostor

L^p prostor je v matematické analýze normovaný prostor funkcí integrovatelných s p-tou mocninou.

Definice

Nechť $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ je prostor s mírou a $f$ je měřitelná funkce na $X$ . Pak pro $p\in \langle 1,\infty )$ definujeme:

\|f\|_{p}=\left(\int _{X}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}

a dále definujeme:

\|f\|_{\infty }=\mathrm {ess} \sup {|f(x)|}=\inf {\{c\geq 0:|f|\leq c\}}

, kde nerovnost

|f|\leq c

platí skoro všude na

X

,

pak pro $p\in \langle 1,\infty )$ konečně definujeme ${\mathcal {L}}^{p}$ prostor jako následující množinu měřitelných funkcí:

{\mathcal {L}}^{p}(X)=\{f:\|f\|_{p}<\infty \}

.

Zobrazení $\|\cdot \|_{p}$ není přísně vzato normou, protože funkce, která je nulová pouze skoro všude, se zobrazí na nulu, ale definice normy požaduje, aby se na nulu zobrazil pouze nulový vektor, v tomto případě nulová funkce. Ostatní vlastnosti normy jsou ovšem splněny (trojúhelníková nerovnost plyne z Minkowského nerovnosti). Z rigorózního hlediska je tedy ještě potřeba zavést jiný druh prostoru, označme ho $L^{p}$ , jehož prvky už nebudou funkce, ale třídy ekvivalence funkcí, které jsou si rovny skoro všude. Sčítání a skalární násobení prvků $L^{p}$ zavedeme přirozeným způsobem a norma třídy je pak dána výše definovanou „normou“ jejího libovolného prvku, neboť ty jsou si v dané třídě všechny rovné. Prvky těchto dvou druhů prostorů se obvykle nerozlišují značením ani pojmenováním.

Vlastnosti

Teoreticky je možné uvažovat i ${\mathcal {L}}^{p}$ prostory pro $p<1$ , lze ale ukázat, že $\|\cdot \|_{p}$ pak není norma. Naopak, pro $p\geq 1$ je ${\mathcal {L}}^{p}$ prostor Banachovým prostorem, pro $p=2$ dokonce Hilbertovým prostorem.

Příklady

Prostory ${\mathcal {L}}^{p}(\Omega )$ pro množinu $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ s Lebesgueovou mírou.
Prostory $\ell ^{p}$ , definované jakožto ${\mathcal {L}}^{p}$ -prostory nad množinou přirozených čísel s aritmetickou mírou. Prvky $\ell ^{p}$ jsou tedy jisté posloupnosti čísel.