Lp prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Lp prostor je v matematické analýze normovaný prostor funkcí integrovatelných s p-tou mocninou.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť je prostor s mírou a je μ-měřitelná funkce na . Pak pro definujeme:

a dále definujeme:

Pro pak konečně definujeme prostor takto:

Zobrazení není přísně vzato normou, protože funkce která je nulová pouze skoro všude se zobrazí na nulu, ale definice normy požaduje, aby se na nulu zobrazil pouze nulové vektor, v tomto případě nulová funkce. Ostatní vlastnosti normy jsou ovšem splněny (trojúhelníková nerovnost plyne z Minkowského nerovnosti). Z rigorózního hlediska je tedy ještě potřeba zavést jiný druh prostoru, označme ho , jehož prvky už nebudou funkce, ale třídy ekvivalence funkcí, které jsou si rovny skoro všude. Sčítání a skalární násobení prvků zavedeme přirozeným způsobem a norma třídy je pak dána výše definovanou "normou" jejího libovolného prvku, neboť ty jsou si v dané třídě všechny rovné. Prvky těchto dvou druhů prostorů se obvykle nerozlišují značením ani pojmenováním.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Teoreticky je možné uvažovat i prostory pro , lze ale ukázat, že pak není norma. Naopak, pro je prostor Banachovým prostorem, pro dokonce Hilbertovým prostorem.

Důležité příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Prostory pro množinu s Lebesgueovou mírou.
  • Prostory , definované jakožto -prostory nad množinou přirozených čísel s aritmetickou mírou. Prvky jsou tedy jisté posloupnosti čísel.